A. MANMIEIM. — SURFACE DE j/ONDE 1173 



En ce point s la surface de l'onde a une infinité de plans tangents : 

 nous allons montrer que ces plans enveloppent un cône du second ordre. 



Appelons C la courbe de contact de (E) et d'un cylindre de révolution 

 qui lui est circonscrit. Menons du centre o la droite G parallèlement 

 aux génératrices de ce cylindre ; cette droite G est alors le diamètre 

 conjugué du plan de la courbe C. Sur le diamètre G se trouve le point 

 s qui correspond à tous les plans tangents de l'ellipsoïde qui enveloppent 

 le cylindre de révolution circonscrit. Par le point s, menons un plan (P) 

 parallèle au plan de C. Les plans tangents à la surface de l'onde en s 

 sont perpendiculaires aux plans menés par G et sont menés respective- 

 ment par les traces de ces plans sur le plan (P). Les perpendiculaires 

 abaissées du point o sur ces traces sont donc perpendiculaires aux plans 

 tangents à la surface de l'onde en s, et comme ces traces sont des 

 droites de (P) issues d'un même point s, ces perpendiculaires forment 

 un cône du second ordre dont les plans des sections circulaires sont 

 les uns parallèles au plan de la courbe G et les autres perpendicu- 

 laires à G. Les plans tangents à la surface de l'onde qui enveloppent 

 le cône supplémentaire de celui-ci enveloppent donc aussi un cône du 

 second ordre. L'est ce que nous nous proposions de faire voir. 



En considérant, non plus un cylindre de révolution, mais un cylindre 

 quelconque circonscrit à l'ellipsoïde, on trouve facilement le théorème 

 suivant : 



Théorème. — On donne un ellipsoïde et la surface de l'onde gui en- 

 dérive. On mène un diamètre quelconque D et les plans tangents à l'ellip- 

 soïde et à la surface de l'onde, aux points où ce diamètre rencontre ces 

 surfaces. Les diamètres respectivement perpendiculaires <r ces plans tan- 

 gents et le diamètre D rencontrent un plan perpendiculaire à D, en 

 quatre points qui sont les sommets d'un rectangle. Ces quatre points 

 appartiennent (dors à une circonférence de cercle. 



Les traces de ces quatre droites sur le plan tangent à l'ellipsoïde ap- 

 partiennent aussi à une circonférence de cercle. Le point de contact de 

 ce plan tangent et le pied du diamètre perpendiculaire à ce plan sont aux 

 extrémités d'un diamètre de cette circonférence. 



