A. MANNHEIM. — PROPRIÉTÉS d'u.\ FAISCEAU DE PLANS H 77 



ristique de ce plan du faisceau. Chacun des plans de R a, de la même 

 façon, une caractéristique. Toutes ces droites peuvent être considérées 

 comme les intersections des plans correspondants de deux faisceaux ho- 

 mographiques; elles appartiennent donc à un hyperboloïde. Nous avons 

 ainsi ce théorème du à M. Chasles : Quand plusieurs plans passent par 

 une même droite, leurs caractéristiques forment un hyperboloïde à une 

 nappe. 



Nous pouvons remarquer en outre que cet hyperboloïde, qui passe par 

 R, a, en chacun des points de cette droite, le même plan tangent que 

 la surface réglée engendrée par R pendant le déplacement du faisceau. 



Si, au lieu de considérer le faisceau R dans deux positions infiniment 

 voisines, nous le considérons dans trois positions infiniment voisines, 

 nous aurons alors trois faisceaux homographiques, et les points d'inter- 

 section des plans correspondants de ces faisceaux appartiennent à une 

 cubique gauche. 



Les points de cette cubique sont les points où les caractéristiques des 

 plans du faisceau touchent respectivement les arêtes de rebroussement 

 des surfaces développables que chacun des plans du faisceau enveloppe 

 pendant le déplacement continu de cette figure. Nous pouvons donc 

 dire : 



Les caractéristiques des plans d'un faisceau mobile touchent leurs en- 

 veloppes en des points qui appartiennent à une cubique gauche. 



Si un plan sécant coupe cette cubique en plus de trois points, c'est 

 que cette courbe est tout entière sur le plan sécant. Cette circonstance 

 se présentera constamment si l'on suppose que quatre des plans du 

 faisceau mobile passent toujours par quatre points fixes d'un plan 

 donné. Nous voyons ainsi que : 



Lorsque quatre plans d'un faisceau mobile passent respectivement par 

 un point fixe d'un plan donné, tous les plans du faisceau passent par 

 des points de ce plan. 



La démonstration directe de ce théorème va nous permettre d'en 

 compléter l'énoncé. 



Considérons les' traces des plans du faisceau mobile sur le plan qui 

 contient les quatre points fixes. Ces traces déterminent un faisceau de 

 droites dont le rapport anharmonique est toujours égal à celui du 

 faisceau de plans, quelle que soit la position de celui-ci. 



Nous avons donc sur le plan fixe, pour toutes les positions du fais- 

 ceau mobile, des faisceaux de droites ayant même rapport anharmoni- 

 que et dont quatre droites passent par quatre points fixes. Les droites 

 correspondantes de tous ces faisceaux se coupent alors sur la conique, 

 lieu des sommets de tous ces faisceaux ; et en revenant au faisceau de 

 plans mobile dans l'espace, nous disons : 



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