1178 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Les points fixes par lesquels passent les plans d'un faisceau mobile 

 dont quatre plans sont assujettis à passer respectivement par quatre 

 points d'au plan donné, sont sur une conique qui est le lieu de la trace 

 sur ce plan de l'arête du faisceau mobile. 



Avant de passer à d'autres théorèmes, je vais rappeler, d'après Lan- 

 eret, la définition de la surface rectifiante et transformer cette définition. 

 La surface rectifiante d'une courbe gauche est l'enveloppe des plans 

 perpendiculaires aux plans oscillateurs de cette courbe, et qui sont me- 

 nés respectivement par les tangentes de cette courbe. 



Relativement à la surface développable dont cette courbe est l'arête 

 de rebroussement, cette surface rectifiante est l'enveloppe des plans 

 normaux à cette surface développable menés respectivement par les géné- 

 ratrices de cette surface. Les génératrices de la surface rectifiante sont 

 alors les droites que j'ai appelées axes de courbure de la surface déve- 

 loppable. 



Un point de l'arête de rebroussement de la surface rectifiante est le 

 point de rencontre de trois plans normaux à la développable menés 

 respectivement par trois génératrices de cette surface et qui sont infiniment 

 voisines. Les plans normaux à la surface développable, ainsi menés, 

 sont aussi les plans normaux aux trajectoires orthogonales des généra- 

 trices de cette surface. Mais ces trajectoires orthogonales sont les lignes 

 de courbure de la développable, et les axes de courbure de ces lignes 

 sont les axes de courbure de la développable. Nous pouvons donc dire : 

 La surface rectifiante d'une courbe gauche donnée est le lieu des axes 

 de courbure des lignes de courbure de la développable dont la courbe 

 gauche donnée est l'arête de rebroussement : et l'arête de rebroussement 

 de cette surface rectifiante est le lieu des centres des sphères osculatri- 

 ees de ces lignes de courbure. 



Ceci posé, reprenons le faisceau mobile R. 



Pour un déplacement infiniment petit de ce faisceau, chacun de ces 

 plans touche son enveloppe suivant sa caractéristique, et l'on obtient 

 toutes ces caractéristiques en projetant sur chacun (U<> plans du fais- 

 ceau l'adjointe au plan perpendiculaire à l'arête R. Ces plans proje- 

 tants sont des plans normaux aux développables enveloppes des plans 

 du faisceau. Ils forment un faisceau homographique au faisceau mobile R. 

 Après un développement de ce faisceau mobile, on aura une nouvelle 

 adjointe, un nouveau faisceau homographique dont les plans couperont 

 respectivement les plans correspondants du faisceau homographique à R, 

 dont je viens de parler, suivant les génératrices d'un hyperboloïde à 

 une nappe. En considérant un nouveau déplacement infiniment petit, 

 on aura alors des points appartenant aux plans correspondants de trois 

 faisceaux homographiques. Ces points appartiennent alors à une cubique 



