R. COLLIGNON. — ÉVALUATIONS D'iNTÉGRALES DOUBLES 1103 



M. Edouard COLLIGNOI 



Ingénieur des ponts et chaussées. 



MÉTHODEÏGÉOMÉTRIQUE D'ÉVALUATION DE CERTAINES INTÉGRALES DOUBLES. 



— Séance il u «/ août 187 4. 



Il existe de nombreuses mélliocles pour l'évaluation des aires planes, 

 c'est-à-dire des intégrales de la forme 



/ ydx, 



ou 



y» -» 



/ / dx dy, 



la double intégration portant sur tous les éléments superficiels compris 

 dans un contour donné. Nous nous proposons d'indiquer des procédés 

 géométriques au moyen desquels la recherche de l'intégrale double 



/ I x" 1 y" dx dy, 



prise à l'intérieur d'un contour fermé quelconque, se ramène à la me- 

 sure d'une aire plane. Les exposants m et n sont supposés entiers et 

 positifs. Ce problème se présente souvent dans les applications du calcul 

 intégral. Pour n'en citer qu'un exemple, la détermination du centre de 

 pression d'une paroi plane suppose, en général, qu'on sache calculer 

 trois intégrales doubles de cette forme, avec les valeurs suivantes des 

 deux exposants : 



m = 1 , n = 0, 



m = 2 , n = 0, 



m = 1 , n = 1 . 



Appelons V l'intégrale cherchée. Nous aurons, en faisant porter la pre- 

 mière intégration sur y n dy, 



Les limites y et y, sont les valeurs (supposées au nombre de deux) 

 que prend l'ordonnée y sur le contour donné pour la valeur x de 

 l'abscisse. Il est facile de voir que, quel que soit le nombre des inter- 



79 



