É. COLLIGNON. — ÉVALUATIONS D'iNTÉGlULES DOUBLES 1197 



La méthode peut être variée de bien des manières. Ainsi nous avons 

 donné dans notre Traité de mécanique (t. II, Statique, § 205), une mé- 

 thode graphique pour trouver les intégrales de la forme 



/ 



y x m dx, 



méthode l'ondée sur les mêmes principes, mais plus rapide que celle 

 que nous venons d'indiquer. 



Notre méthode s'étendrait encore au cas où les exposants m et n, sans 

 cesser d'être entiers, ne seraient pas tous deux positifs ; elle n'est en 

 défaut que dans le cas particulier où les deux exposants seraient égaux 

 à — 1. 



Remarquons, en effet, que pour augmenter d'une unité l'exposant 

 d'une des variables, il n'y aurait qu'à faire les constructions inverses de 

 celles qui servent à le réduire; dans la première série d'opérations, 

 on joindrait MO, et on mènerait par le point N une parallèle NI— \ à 

 cette droite ; dans la seconde, on prolongerait Om jusqu'à la rencontre 

 h—i avec 0"Y" ; et on mènerait par le point h—\ la parallèle h-\ m-\ à 

 l'axe des abscisses. 



On pourra donc, en répétant un nombre suffisant de fois ces opéra- 

 tions; amener les exposants des deux variables à la valeur qui laisse 



subsister sous le signe / un simple élément superficiel. Observons ce- 

 pendant qu'il y aura avantage à modifier légèrement la marche des 

 opérations dans le cas des exposants négatifs. 

 Considérons, par exemple, l'intégrale double 



V= f f y —dxdy. 

 Si l'on fait porter la première intégration sur y, on aura 



v=i Çi Ax . 



o J X 



Or, si l'on suivait la marche indiquée, la première série d'opérations 

 aurait pour effet de réduire à l'unité l'exposant de y, mais en même 

 temps de diminuer d'une unité l'exposant négatif de x; elle conduirait 

 à l'intégrale 



/ 



y' dx 



x L 



Rien n'est plus facile que d'éviter cette altération de l'exposant de la va- 

 riable x. Au lieu d'opérer tout d'abord sur l'abscisse OP (fig. 68), nous 

 prendrons sur l'axe des x, à partir du pied P de l'ordonnée, une longueur 



