É. COLLIGNON. — ÉVALUATIONS d'iNTÉGKALES DOUBLES I Iî)9 



Dans ces anamorphoses, les points correspondants sont toujours situés 

 sur une parallèle à l'axe des y. Plus généralement, ils conservent la co- 

 ordonnée sur laquelle on ne fait pas porter la première intégration. On 

 n'est pas toujours maître de l'ordre dans lequel les deux intégrations 

 doivent s'opérer. Par exemple, la méthode ne réussirait pas pour l'inté- 

 grale 



dx 

 si l'on commençait par intégrer --; car il en résulterait un logarithme, 



fonction qui n'est pas, comme les puissances entières, susceptible de 

 réduction géométrique. 



La méthode est donc en défaut pour l'intégrale 



ff-, 



dx dy 



Pour évaluer cette double somme prise à l'intérieur d'un contour 



donné, le mieux est de transformer ce contour en faisant correspondre 



à tout point <x, y) pris sur son périmètre, un point (x , y) déterminé 



par les relations 



x'=\ogx, f—\ogy. 



L'aire du contour transformé 



//■ 



sera égale à l'intégrale 



})' 



/./;' dy 

 Ix dy 



xy 



prise à l'intérieur du contour primitif. C'est un exemple d'anamorphose 

 analytique; le procédé est applicable toutes les fois qu'on a à former la 

 double somme 



J J ? (•») $ (y) dx dy. 



Voici d'autres exemples où l'anamorphose analytique conduit au ré- 

 sultat cherché. Considérons la fonction 



V— / j o(x'--}-y 1 )dxdy y 



où l'élément superficiel dx dy est multiplié par une fonction de la dis- 

 tance r = \ ! x l -f- y 1 à l'origine. Si l'on passe aux coordonnées polaires, 

 l'intégrale prend la forme 



