É. COLLIGNON. — EVALUATIONS D'iNTÉGRALES DOUBLES L204 



pour la réduction d'un polygone à un triangle équivalent. Un mènera 

 d'abord (lig. 70) une droite XX' qu'on prendra comme direction d'un des 



N 



Fig. 70. 



côtés de la figure équivalente à construire. Menant une série de lignes 

 MN perpendiculaires à cette droite, et portant sur chacune, à partir de 

 sa rencontre avec XX', des intervalles cd respectivement égaux aux 

 cordes CD interceptées par le contour sur la même droite, on ramènera 

 le contour donné à la forme adefb, qui a la même surface et dont un 

 côté est rectiligne. On fera glisser ensuite dans leur propre direction les 

 cordes parallèles à XX', de manière à faire buter leurs extrémités inférieures 

 contre une seconde droite X'Y, qu'on peut prendre perpendiculaire à XX, 

 ce qui donne à la figure la forme ag'h'e. Joignant ae, on partage la ligure 

 en un triangle et un segment courbe qu'on pourra transformer parla même 

 méthode en ramenant ses cordes à buter contre une perpendiculaire ah" à 

 sa base. Dans ces transformations successives, les droites restent droites 

 et les courbes du second ordre restent des courbes du second ordre. La 

 courbure des courbes va généralement en diminuant, de sorte que bientôt, 

 on obtient une aire polygonale dont un côté seulement conserve une 

 légère courbure. L'évaluation de la partie polygonale peut se faire exac- 

 tement par les règles de la géométrie élémentaire; quant à celle du 

 segment courbe qui la complète, on peut la faire approximativement en 

 assimilant cette figure à un segment de parabole. Si l'on applique cette 

 méthode a un cercle, on le change d'abord en une demi-ellipse équi- 

 valente, puis en un quart de cercle de rayon double, enfin, en un 

 contour polygonal complété par un arc elliptique. 



Rappelons, en finissant cette note, qu'il existe des instruments connus 

 sous le nom de planimètres ou d'intégrateurs, qui donnent des intégrales 

 analogues. Ceux de M. Amsler et de M. Marcel Deprez (i) donnent les 



(1) M. Deprez, présent à la séance de la section, a donné d'intéressantes explications sur l'ins- 

 trument dont il est l'invent Mir. 



