II. PICQUET. — CENTRE DES MÉDIANES ANTIPAKALLÈLES 1203 



définition suivante, qui est deseriptive. Si l'on considère tous les cercles 

 qui passent par deux sommets B et C du triangle ABC, chacun d'eux 

 intercepte sur le système des deux côtés AB, AC outre la corde BC, la 

 corde antiparallèle (3f ; toutes les cordes (3-f sont évidemment parallèles, 

 et le lieu de leurs milieux est la médiane antiparallèle passant par le 

 sommet A. 11 suffira de taire la projection conique de cette figure sur 

 un autre plan pour savoir quelles sont les propriétés descriptives géné- 

 rales dont la précédente est un cas particulier. A un faisceau de cercles 

 correspondent des coniques ayant deux points fixes P et Q, qui sont les 

 projections des points cycliques du plan, et l'on obtient alors les énon- 

 cés suivants : 



Étant donnés deux points fixes P et Q et un triangle ABC, toutes les 

 coniques passant par les deux premiers et deux sommets B et C du triangle 

 interceptent, sur le système des côtés AB, AC, une seconde corde fr{ qui 

 passe par un point fixe a de la droite PQ. 



Car, dans le premier cas, le point commun à une série de cordes 

 antiparallèles est sur la droite de l'infini, qui joint les points cycliques. 



Parmi les cordes (âf se trouve celle qui passe par le sommet A et qui 

 est la tangente à la conique PQABC. 



Si Von prend sur chacune des cordes le conjugué harmonique par rap- 

 port à ses extrémités de leur point commun a ; on obtiendra une droite, 

 polaire de a par rapport au système AB,AC. Les trois droites issues res- 

 pectivement de chaque sommet du triangle, que Von peut obtenir ainsi au 

 moyen des faisceaux de coniques PQBC ', PQCA et PQAB, sont concou- 

 rantes. 



Or ces propriétés dérivent directement du théorème de Brianchon, 



Si l'on considère en effet la conique PQABC, et le triangle circon- 

 scrit formé par les tangentes aux points A, B, C, chacune de ces tan- 

 gentes fait partie d'un des systèmes de cordes telles que (fy. Les trois 

 polaires précédemment déterminées sont respectivement polaires de 

 chaque tangente par rapport aux deux côtés du triangle issus du point 

 de contact ; or les trois droites ainsi construites vont passer respective- 

 ment par le sommet opposé du triangle circonscrit, et sont conséquem- 

 ment concourantes, d'après le théorème de Brianchon. 



Ceci est vrai, quels que soient les points P et Q ; si l'on suppose 

 maintenant que ce soient les points cycliques du plan, la conique PQABC 

 devient le cercle circonscrit au triangle, et le point de concours devient 

 le centre des médianes antiparallèles, dont on voit par là que les pro- 

 priétés descriptives dérivent du théorème de Brianchon. 



2. Des considérations analogues permettent de rechercher si l'on peut 

 étendre au cas du tétraèdre les propriétés du centre des médianes anti- 

 parallèles dans un triangle. 



