1204 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



La définition de ce point, s'il existait, serait la suivante. Si l'on consi- 

 sidère toutes les sphères passant par trois sommets B, C, D d'un tétraèdre 

 ABCD, les trois arêtes AB, AC, AD du tétraèdre coupent respectivement 

 chaque sphère en un second point a, £, 7 : le triangle txfa est dans le 

 plan d'une section antiparallèle du cône de sommet A ayant pour base 

 le cercle circonscrit au triangle BCD ; car ce cône, ayant avec la sphère 

 une première section plane commune qui est le cercle BCD, la coupe 

 suivant une autre courbe plane, par suite suivant un autre cercle : ce 

 (vicie passe nécessairement par les points x, (S, 7, communs aux deux 

 surfaces ; c'est donc le cercle circonscrit au triangle affy, dont le plan 

 fournira conséquemment une direction antiparallèle du cône, ou si l'on 

 veut, du tétraèdre. Le lieu des centres des cercles circonscrits aux sec- 

 tions antiparallèles 0^7 sera un certain diamètre du cône, issu du sommet 

 A du tétraèdre. Chaque sommet donnera lieu de la même façon à une 

 médiane antiparallèle, dont le point de concours, s'il existe, sera le 

 centre des médianes antiparallèles du tétraèdre. 



Or il est facile de voir qu'en général ces médianes sont sur un même 

 hyperboloïde, et par conséquent n'ont aucun point commun. 



Si l'on considère en effet la sphère circonscrite au tétraèdre, le plan 

 tangent à cette sphère en un des sommets est évidemment parallèle à la 

 direction antiparallèle correspondante. On a ainsi un second tétraèdre 

 circonscrit à la sphère et dans lequel on démontre facilement que chaque 

 médiane antiparallèle du premier, issue du point de contact d'une des 

 faces du second, passe par le sommet opposé de ce dernier. On a donc 

 quatre droites qui joignent les sommets d'un tétraèdre circonscrit aux 

 points de contact respectifs des faces opposées, qui sont dès lors quatre 

 génératrices du même système d'un hyperboloïde à une nappe. Les 

 médianes antiparallèles d'un tétraèdre ne sont donc pas en général des 

 droites concourantes. 



Tout ce qui précède s'appliquerait également au cas où les surfaces, 

 au lieu d'être des sphères, auraient une section plane commune quel- 

 conque. Cette section plane jouerait alors le même rôle que le cercle de 

 l'inlini dans le cas qui vient d'être traité. 



