H. PICQIET. DES INVARIANTS 1205 



M. H. PICQÏÏET 



Capitaine du génie, Héj>étitcur A l'École polytechnique. 



DES INVARIANTS COMMUNS A DEUX FONCTIONS QUADRATIQUES, HOMOGÈNES, 

 A DEUX, TROIS OU QUATRE VARIABLES. 



— .Séance du 26 août 1874. — 



1. — Si l'on considère une fonction homogène du second degré à 



deux variables 



Ax i +2Bxy+ Cy 1 



on sait que cette fonction admet un invariant unique (*) qui est son 

 discriminant AC — B 2 . 



Si l'on considère en outre une seconde fonction de même espèce, 



A, j* + 28,^ + 0, y\ 



les deux fonctions, envisagées simultanément, possèdent un invariant 

 commun, c'est-à-dire une fonction de leurs coefficients qui ne change 

 pas à un facteur près, par une substitution linéaire. Il est connu (**) 

 que cet invariant s'obtient au moyen de l'expression 



A.r* + 2 Bxy + Cf + X (A, a* + 2B 4 an, + C, f), 



en cherchant son discriminant et formant les coefficients des différentes 

 puissances de X. Ce discriminant n'est autre que 



(A + XA 1 )(G + XC,)-(B + XB 1 )- 2 , 

 ou 



AC — B* + a [AC, + CA, — 2 BB,] + X* [A, C, — B t >]. 



Le premier et le troisième^coefficients sont respectivement les inva- 

 riants des deux fonctions considérées. Quant au second, il renferme les 

 coefficients des deux fonctions : c'est un invariant commun. On peut 

 l'interpréter géométriquement, et il est facile de voir que si l'on fait 

 y = 1 dans les deux fonctions, et si on les égale à zéro, de façon à ob- 

 tenir deux équations en x, les'racines de ces équations portées sur une 

 même droite, à partir d'une même origine, donneront lieu à quatre 

 points en rapport harmonique, toutes les fois que l'invariant commun 

 sera nul. La démonstration mérite à peine d'être rapportée : si les deux 



AC — B- A + C — 2 B cos Q 



[*] On enseigne quelquefois que les expressions — , . ne changeant pas 



— sin-o sin- 9 



par suite d'une transformation de coordonnées, sonfdes invariants de la fonction 



Ax^+ïBxy + Ci/-. 

 Cette locution paraît incorrecte, puisque ces expressions renferment non-seulement les coeffi- 

 cients de la fonction, mais aussi l'angle 9. 



(**) Salmon, Leçons d'algèbre supérieure, traduction française, p. 92. 



