4200 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



couples de racines sont x',x" et x\, x'\, elles donneront lieu à un 

 rapport harmonique si la relation 



■'' i 



x 



■ r 



•'■ 



x\- 



X' 



■JL' i X 



est satisfaite. Cette relation peut s'écrire : 



2 [x' x"+x\ x"î\ = (x> + ■'■") (œ'i -h x" { ), 

 ou en remplaçant les sommes et produits de racines par leurs valeurs 

 tirées des équations 



m c, i i un, 



ou 



AQ + CAi — 2BBi = 0. 



On peut encore dire que lorsque cet invariant est nul, les deux équa- 

 tions homogènes, obtenues en égalant à zéro les deux fonctions, repré- 

 sentent quatre droites formant un faisceau harmonique. 



2. — Si des fonctions à deux variables on passe aux fonctions à trois 

 variables, telles que 



S = ox- 2 + hf + cz 1 -f %fm -+- 2 gzx -f- 2 ksc& 



ces fonctions possèdent également un invariant unique qui est leur dis- 

 criminant 



a h g 



A= h b f 



9 f c 



Deux pareilles fonctions, considérées simultanément, ont de plus deux 

 invariants communs, que l'on obtient par le même procédé que celui 

 de deux fonctions à deux variables (*). Si la deuxième fonction est 



T = a' gfl + b' f -f c z 2 4- 2/ ys + lg' zx + 2 h' .r,j, 



et si l'on forme la fonction S 4~ ^X» le discriminant de cette nouvelle 



fonction sera 



a _j_ \ n > h 4. W g -f \g' 



h-\-W b + W /'+>/' 



+ V f + W (• + >•'•' 

 et les coefficients des différentes puissances de X dans ce discriminant 

 seront des invariants. Si on le développe, on obtient une fonction bien 

 connue, du troisième degré en X 



a + h). + (-y y* + a'x\ 



dans laquelle A et A sont respectivement les discriminants des fonctions 



l*) Salmon llbid.), p. 201. 



