H. PICQUET. — DES INVARIANTS 1207 



S et T, H et 0' deux invariants communs dont le second se déduit du 

 premier par la permutation des lettres accentuées en lettres non accen- 

 tuées. On obtient facilement la valeur de ©, qui est 



= 



ou en ordonnant par rapport aux coefficients de T 



(6c _ p) a ' + ( ca _ f) b' -f (ab — V) c' + 2 {gh — af) f 



+ ï(hf-b<j)y'+ï(fg-ch)h'. 



S. — Nous nous proposons d'interpréter géométriquement l'invariant 

 : tout ce qui sera démontré pour cet invariant par rapport aux fonc- 

 tions S et T le sera évidemment pour l'invariant 6', par rapport aux 

 fonctions T et S. 



Égalons à zéro les deux fonctions S et T de façon à obtenir les équa- 

 tions trilinéaires de deux coniques, que nous appellerons S et T. M. Sal- 

 mon a fait voir (*) que lorsqu'on peut [inscrire dans la conique T un 

 triangle conjugué à la conique S, c'est-à-dire un triangle tel qu'un 

 sommet quelconque soit le pôle par rapport à la conique S du côté op- 

 posé, l'invariant 6 s'annule. Il est facile de démontrer la réciproque : 

 la propriété d'invariance de la fonction permet en effet de choisir 

 arbitrairement le triangle de référence, si l'on prend un de ses sommets 

 (x = 0, J/=0) sur la courbe T, et pour côté opposé (s = 0) la po- 

 laire de ce point par rapport à S, les équations de ces courbes de- 

 viendront 



S = ax l + b\f- + cz 1 -f 2 h scy = 0, 



T = (£ x 1 - + b 1 1 -f 2f yz -f 2 </ zx + 2 h' xy = 0. 



Si l'on fait s = dans ces deux équations, on obtient successivement 

 les équations des deux systèmes de droites joignant le point (x = 0, y=ti>) 

 aux points d'intersection de chacune des courbes avec le côté du triangle 

 de référence s = 0, c'est-à-dire 



S 4 = ax- -\- 2 h xy -\- by 1 



T, = a x- -f 2 h' xy -\- b' xf. 

 D'ailleurs, à cause de gs=ft=é=ii, © est devenu 



bea -\-c<ib' — 2chli 



ou 



c(ba'+ab'—2hh'). 



Or, c n'est pas nul si l'on ne suppose pas que la conique S soit un sys- 



(*) Salmon, Sections coniques, traduction française, p. 479. 



