1:208 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



lème de deux droites, si donc est nul, c'est que l'on a 



ba -\-ab' — 2hli = o 



c'est-à-dire que les deux systèmes de droites S, et T, forment un fais- 

 ceau harmonique (1), ou que la droite z—.O coupe les deux courbes 

 suivant quatre points s,, s.,, /,, <. 2 , en rapport harmonique. D'ailleurs 

 cette droite est par rapport à la conique S la polaire du point 

 t (x=o, ?/ = 0), donc le triangle £ n M>> inscrit dans T est conjugué par 

 rapport à S. 



Si nous avions pris pour sommet du triangle de référence un autre 

 point quelconque de la courbe T, l'invariant 0, qui est nul pour un 

 système de coordonnées, aurait encore été nul dans ce nouveau système, 

 et l'on aurait eu un autre triangle conjugué de S inscrit dans T. On 

 arrive donc ainsi à la démonstration analytique de ce théorème de 

 M. Chasles (*) : 



Quand on peut inscrire dans une conique T un triangle conjugué à une 

 conique S, on peut en inscrire une infinité d'autres, 

 ou encore ; 



Les deux coniques sont telles que la polaire par rapport à S d'un 

 point quelconque de T les coupe suivant quatre points en rapport har- 

 monique, 



et l'on voit en même temps que la dépendance géométrique qui existe 

 alors entre les deux coniques S et T s'exprime analytiquement par la 

 condition = 0. 



4. — D'après ce mode de dépendance géométrique, on peut jusqu'à 

 un certain point dire que les deux courbes se partagent harmoniquement (**) 

 et l'on aura alors l'extension aux fonctions à trois variables de la pro- 

 priété de l'invariant commun aux fonctions à deux variables. Cette expres- 

 sion se justifie, si l'on observe que, dans le cas de deux coniques 

 comme dans celui de deux segments d'une même droite empiétant l'un 

 sur l'autre, il y a réciprocité. Non pas que l'on puisse inscrire dans la 

 conique S des triangles conjugués à la conique T, ce qui s'exprimerait 

 évidemment par la condition 0=0, mais c'est un autre genre de réci- 

 procité qui résulte des considérations suivantes : 



Quand on peut inscrire dans une conique T un, et par suite, une in- 

 finité de triangles conjugués à une conique S, on peut circonscrire à la 

 seconde un et, par suite, une infinité de triangles conjugués à ta première 

 ou encore : 



*) Traite des sections coniques, p. 141. 



(**) Remarquons en effet qu'un triangle conjugué à une conique ayant toujours un point à l'in- 

 têrieur de la courbe et deux à l'extérieur, les deux courbes auront toujours au moins deux 

 points communs réels, et par suite empiéteront l'une -ur l'autre. 



