II. PICQUET. — DES INVARIANTS 1209 



du pôle par rapport à T d'une tangente quelconque de S, les tangentes 

 menées aux deux courbes forment un faisceau harmonique. 



Pour démontrer analytiquement ce théorème connu, dont nous avons 

 donné ailleurs une démonstration géométrique (*), il suffira de faire 

 voir que lorsque est nul, la dernière condition géométrique est satis- 

 faite. Pour cela supposons que la droite z = soit tangente à S, et que 

 le point (x = 0, y=0) soit le pôle de cette droite par rapport à T ; on 

 aura alors, pour S, h- — ab=o et pour T, g' = 0, f = 0; et l'invariant 

 se réduira à 



(bc—P)a'+(ca—g*) b' + <2(fg — ch) h' 



S'il est nul, les tangentes issues du point (x = 0, y = 0) aux deux 

 courbes formeront un faisceau harmonique ; car l'équation du système 

 des deux tangentes, qui est pour la courbe S 



(ca - f) x* + 2 (ch - fg) xy + (fc - , *) f = ; 



se réduit pour la courbe T à 



a'x^ + ^h'xy]-j-b , y^=0 



et la condition pour que ces quatre droites forment un faisceau harmo- 

 nique, est précisément (1) 



{bc _ fi) a > + ( M _ f) b ' _ % (ch - fg) h' = = (* *) 



Ainsi, il existe entre les deux courbes une certaine réciprocité, qui 

 permet de dire qu'elles se partagent harmoniquement. La propriété rela- 

 tive aux fonctions de deux variables se trouve généralisée, et l'on peut 

 observer que cette propriété, qui est indépendante du choix des axes, 

 devait évidemment s'exprimer par une relation entre les invariants 

 A, 0, A' , 0' ; on ne pouvait la prévoir aussi simple : elle répond à la 

 simplicité du fait géométrique, qui n'est autre qu'une division harmo- 

 nique. Cependant, après avoir adopté cette traduction dans le langage 

 ordinaire d'une propriété géométrique, il faudra encore ajouter dans 

 quel sens a lieu cette division harmonique. Elle peut en effet avoir lieu 

 de deux façons, soit que soit nul, soit que 0' soit nul. C'est pour- 

 quoi nous continuerons à dire avec M. Smith (***) que, dans le premier 



(*) Systèmes linéaires de coniques, p. 39. — D'après M. Cremona [Curve piane, p. 89), il fau- 

 drait attribuer ce théorème à M. Hesse [Vgrlesungen iiber analytische Géométrie des Raumes) . 

 Leipzig, 1861. 



(**) Cette démonstration du théorème de réciprocité peut être remplacée par la suivante. Il 

 résulte évidemment de la symétrie que si c'était 0' qui fût nul, ce serait la conique S qui serait 

 circonscrite à une infinité de triangles conjugués de T. Mais le calcul qui le démontrerait, inter- 

 prété en coordonnées tangentielles, démontrerait en même temps que lorsque le tangentielest 

 nul, laconique S est inscrite dans des triangles conjugués deT. Or, pour avoir le 0' tangentiel, il faut 

 prendre les équations tangentielles S = »■ x = o de S et deT, et former le coefficient de ji 2 dans 

 2+ jxt. lequel est précisément égal à A'0, comme il est facile de le vérifier. Si donc l'invariant 

 est nul, le 0' tangentiel l'est aussi, et l'on peut circonscrire à S des triangles conjugués de T. 



[***) Proccedings of the London mathemettical Society, n° 14, p. 85. 



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