1210 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



cas, la conique ï est harmonique ment circonscrite à la conique S, et la 

 seconde harmoniquement inscrite à la première : ces expressions se com- 

 prennent d'elles-mêmes. Dans le second cas, c'est l'inverse qui a lieu. 



ô'. — Le caractère le plus remarquable de la relation 0=zO, c'est 

 qu'elle est du premier degré par rapport aux coefficients de la conique T. 

 Quant à ceux de la conique S, elle les renferme au second degré ; mais 

 il résulte de la réciprocité même que nous venons de démontrer que si 

 elle est du premier degré par rapport aux coefficients de T, elle doit 

 l'être aussi par rapport aux coefficients tangentiels de S, puisque S 

 jouit, par rapport à T, de la propriété corrélative de celle dont T jouit 

 par rapport à S. Analytiquement, cela est évident, car les multiplica- 

 teurs des coefficients de T dans l'invariant sont précisément les coeffi- 

 cients 'tangentiels de S. On sait en effet que l'équation tangentielle de 

 conique S s'obtient en égalant à zéro le contrevariant 







Telle est la condition pour que la droite a x + $y -f- y r- = soit 

 tangente à la courbe proposée. Cette condition développée peut 

 s'écrire 



(fc _ p) y ;i + (cn _ ( f.) p + (ab - ft«) f 



+ 2 (gh - af) ï> + 2 (hf - bg) T a -f 2 (fg - ch) o0 = 0, 



ou en posant, suivant une notation souvent employée 



bc—P=k ca—g i =B ab—h i =C gh—af=¥ hf—bg=G fh—ch=R 



Aa 2 -f B ^ + Cf -f 2 F Py + 2 G^a -f 2 H a = 0, 



el l'on voit qu'alors la relation = 0, devient 



Aa' -f B6' -f Ce' -f 2 Vf -f 2 Gg + 2 Eh' = (*) 



Elle est aussi bien du premier degré par rapport aux coefficients tan- 

 gentiels de S que par rapport aux coefficients ponctuels de T. L'impor- 

 tance de cette remarque ne doit pas échapper : une équation tangen- 

 tielle de la forme précédente représente en effet une seule et unique 

 courbe; si donc, pour déterminer la conique T, on donne une relation 



i*) On en conclut 



6' = A.'a+B'ô-fC'c + 2F7-}-2G'g f 2 il' /i = [b'c' — f'*\ œ+' (c' a'— g' 2 ).b+ ... 



le B' tangentiel est donc égal à 



(B' C — I"-') A + (C A' — G'-' R -| 



m, m:'- f'2— [c'a' — g'i) [a' b" -/,'-•■— g' h'— a' f\* = a' A', de même C A' — G' 1 = V A', etc. 

 Cette valeur devient donc à' {An' -f B&' + Ce' |-2 F/î' + 21,7' + 2H/1'), ou A'B, comme on l'a 

 avancé dans la note précédente. 



