1212 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



nées, correspond un système linéaire tangentiel d'ordre 4 — p, c'est-à-dire 

 l'ensemble de toutes les coniqes harmoniquement inscrites à p -}- 1 

 coniques données. 



Toutes les coniques du système ponctuel sont harmoniquement circon- 

 scrites à toutes celles du système tangentiel qui, de leur côté, sont toutes 

 harmoniquement inscrites à chacune des premières. 



Nous ne nous étendrons pas sur les conséquences ni sur les cas parti- 

 culiers de ces théorèmes, qui ont été suffisamment développés ailleurs (*), 

 notre but étant d'étudier au même point de vue les surfaces du second 

 degré et leurs systèmes linéaires. 



"• — Considérons maintenant une fonction homogène du second 

 degré à quatre variables 



-j- %lyz -j- %mzx -f 2nxy -f- %pxv -f- Vqyv -f %rzv. 



Comme les fonctions à deux ou à trois variables, elle admet un inva- 

 riant unique, qui est son discriminant. 



1 = 



Si l'on considère simultanément cette fonction S et une deuxième 

 fonction analogue 



T = a! as 2 + b'if -f c z 1 + d' v 1 



-\-iVyz -f 2m'sra5-f-2n'*y -f 2p' œv-{-%q'yv -f- 2r' zv, 



elles possèdent, outre leurs discriminants respectifs, des invariants com- 

 muns que l'on obtient (**) au moyen de la fonction S -f XT, en for- 

 mant son discriminant 



a -j- ha' n -\- Xn' m -f- "km p -f- K p 



n -f- Xn' h -\-\b' l -f- a/' q -j- ~>,q 



m -f Xm' / -f- W c -f- Xc r -f Xr' 



p -f- Xp' <7 + Xg' r -f Xr' rf -j- ^' 

 le développant et cherchant les coefficients des dillérentes puissances 

 de X. Cette fonction, développée, devient 



(*) Systèmes ponctuels et tangenliels de .sections coniques, 1872. On y trouve la démonstration 

 géométrique de ces deux théorème?, lesquels doivent être attribués à M. Smith, professeur à 

 l'université d'Oxford. [l'roceeding of the London mathematicat Society). n° ii, p. 8!>. Nous avons 

 dû les rappeler ici en quelques mots, en les rattachant à des faits analytiques, afin de jeter plus 

 de clarté sur les propriétés analogues des surfaces du second degré, qui seront traitées de la 

 même façon dans ce mémoire et les suivants. 



(") Salmon, Leçons d'algèbre supérieure, traduction française, p. 222. 



