H. PICQIET. — DES INVARIANTS 1213 



A -f ex -f $X 2 + ®'X 3 -J- A' A 1 , 



A et A' étant respectivement les discriminants des fonctions S et T ; 0, 

 <P et 0', des invariants communs dont le troisième se déduit du pre- 

 mier par la permutation des lettres accentuées en lettres non accentuées. 

 0' jouera par conséquent par rapport aux fonctions T et S le môme 

 rôle que par rapport aux fonctions S et T. Cherchons la valeur de : 

 on a évidemment, en développant, la valeur suivante pour le coefficient 

 de X 



m p 



'/ 

 r 



d 



= 



P 



p 



q 



r 

 d 



+ 



a 

 n 

 m 



n 

 b' 



ï 



l 



+ 



a n 

 n b 



m 

 P 



l 

 ci 



(I 

 n 

 m l 



n m p 



b l q 

 c r 



p q r 



ou, en ordonnant par rapport aux coefficients de T 



«' + 



m 



M. Salmon a fait voir (*) que, si les deux surfaces du second degré 

 que l'on obtient en égalant à zéro les deux fonctions S et T sont telles 

 que la seconde soit circonscrite à un tétraèdre conjugué de la première ; 

 c'est-à-dire à un tétraèdre tel qu'un sommet quelconque soit par rapport 

 à S le pôle de la face opposée, l'invariant s'annule. Pour faire voir 

 la réciproque, choisissons un des sommets (x = 0, y = ; z== 0), du 

 tétraèdre de référence sur la surface T et pour face opposée (v = 0), le 

 plan polaire de ce point par rapport à S : les équations de ces surfaces 

 deviendront alors 



S=asc 2 +&t/ 2 -f c* 2 + dv- +%lyz +%mzx+%nœy=0, 



T=a'^+6V 2 +c^ 2 -f2/'yz + 2m , jzx-(-2w , £cy + 2/)'a'ri-2g'j/î;-f-2r'vy=0. 



(*) Geometnj of three dimensions, 1874, p. 136. 



