1214 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Si l'on fait v = dans ces équations, on obtient les équations des 

 deux cônes ayant pour sommet le point (x = 0. î/ = 0, s = 0) et pour 

 liages respectives les courbes d'intersection de chacune des surfaces 

 avec la face du tétraèdre de référence v = 0, c'est-à-dire 



Si = ax 1 -f bf + es 2 -f 2ïy* -\-%mzx + %nxy. 

 ïj = a x 1 + b'y 1 -f c's 2 + 2 f ys -f 2 m' zœ -f 2 n'ecy . 



D'ailleurs, à cause de p = q:=r = d' = 0, @ est devenu, en suppri- 

 mant le facteur d qui n'est pas nul si l'on ne suppose pas que la surface 

 S se réduise à un cône 



(bc — F) a' -f (ca — m 2 ) 6' + {àb — n 2 ) C 



+ 2 (m« — al) V -j- 2 ( nJ — 6m) m' -f- 2 (Jm — en) »', 



c'est-à-dire précisément l'invariant commun aux deux fonctions à deux 

 variables Si et T { (2). Si donc est nul, c'est que les deux cônes S, et T t , 

 ou bien leurs sections par le plan v = Q, se partagent harmoniquement, 

 la seconde étant harmoniquement circonscrite à la première : si alors 

 l'on considère un des triangles en nombre infini inscrits dans la seconde 

 et conjugués à îa première, il formera évidemment avec le sommet 

 (a? = 0, j/ = 0, % = 0) du tétraèdre de référence un tétraèdre inscrit 

 dans la surface T et conjugué à la surface S, puisqu'en outre le plan 

 v = est le plan polaire du sommet opposé par rapport à S. 



Si nous avions pris pour sommet du tétraèdre de référence un autre 

 point quelconque de îa surface T, l'invariant 0, d'après sa définition 

 même, eût encore été nul dans ce nouveau système de coordonnées, et 

 l'on aurait eu une autre infinité de tétraèdres ayant ce point pour 

 sommet, inscrits dans T et conjugués à S; d'où l'on conclut que 



Quand on peut inscrire dans une surface du second dey ré T un té- 

 traèdre conjugué à une autre surface du second degré S, on peut en ins- 

 crire une infinité d'autres ( ' | 

 ou encore : 



les deux surfaces sont telles que le plan polaire par rapport à S d'un 

 point quelconque de T les coupe suivant deux coniques qui se partagent 

 harmoniquement , la section de la surface T étant harmoniquement cir- 

 conscrite à l'autre, 

 et la condition analytique de ce mode de dépendance géométrique est 



= 0. 



8. — Nous allons montrer qu'il existe alors, comme dans Je cas de 

 deux coniques, une certaine réciprocité entre les deux surfaces qui 



(*) Hesso, Vorlestmgen iiber analytitche Géométrie des Ravines. Leipzig, 1809, p. |M. 



