II. PICQUET. — DES INVA1UANTS 1215 



permet de dire qu'elles se partagent harmoniquement. Elle résultera du 

 théorème suivant : 



Quand on peut inscrire dans une surface T un, et par suite, une in- 

 finité de tétraèdres conjugués à une surface S, on peut circonscrire à la 

 seconde un, et par suite, une infinité de tétraèdres conjugués <) la pre- 

 mière (*), 

 ou encore 



du pôle par rapport à T d'un plan tangent quelconque de S, les cônes 

 circonscrits aux deux surfaces se partagent harmoniquement, celui de la 

 surface S étant harmoniquement inscrit (i relui de la surface T. 



Il suffira de faire voir la dernière proposition, d'où résulte la pre- 

 mière, car si les deux cônes circonscrits se partagent harmoniquement 

 dans le sens indiqué, il y aura une infinité de trièdres ayant pour som- 

 met leur sommet commun, circonscrits à S et conjugués par rapport 

 à T : l'un d'eux, auquel on adjoindra le plan tangent de S, formera un 

 tétraèdre circonscrit à S et conjugué à T. Supposons donc que le plan 

 v = soit tangent à S et que le point [x = 0, y=0, z = 0), soit le 

 pôle de ce plan par rapport à T; on aura alors pour S la condition 



a n m 



n b l =0, 



m 1 c 



qui exprime que sa courbe d'intersection avec le plan v = se réduit 

 à deux droites, et pour T; p = q'=r' = 0. L'invariant® se réduira 

 donc à 



r 



S'il est nul, le cône circonscrit du point (x = 0, y = 0, z = 0) à la 

 surface S est harmoniquement inscrit à celui qui est circonscrit à la sur- 

 face T, ou, ce qui revient au même (4), le second est harmoniquement 

 circonscrit au premier. En effet, l'équation du premier est, comme 

 on sait, 



{ad — p 2 ) x'- -{- (bd — f) y- -f (cd - r') z 1 



-f- 2 (Id — gr) yz -j- 2 (nid — rp) zx -\- 2 (nd — pq) xy = 0, 



(*) Hesse, Vorleswigen iiber analytische Géométrie des Raumes. Leipzic, 1860, p. 209. 



