1216 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



et celle du second se réduit à 



ax 1 -f b'if -f- c'z* -f 2 /' yz -f- 2m.'j5œ -f 2n'œy = 0. 



L'invariant commun à ces deux cônes, linéaire en a\ b\ c\. . ., est de 



la forme 



Aa -f B// -f- Ce' -f 2 L/' -f 2 Mm' -f 2 Nu = 0, 



et il est facile de voir que les coefficients A, B, C. ..., sont préci- 

 sément ceux de 0, au même facteur près, qui est d. On a, par 

 exemple (2), 



A = ibd — q-) (rd — r 1 ) — (Id — qrf 



b 



l 



/ 



9 



r 



d 



Si donc est nul, les deux cônes se partagent harmoniquement dans le 

 sens voulu et la proposition est démontrée. 



Ainsi, la condition = exprime que les deux surfaces se partagent 

 harmoniquement: mais il faudra, comme dans le cas de deux coniques, 

 ajouter que T es iharmoniquement circonscrite à S, ou, ce qui revient au 

 même, S harmoniquement inscrite à T. La propriété inverse serait ex- 

 primée parla relation 0=0. 



9. — Ce théorème de réciprocité peut encore se démontrer par le calcul 

 même qui a servi à prouver le théorème direct. Mais rappelons d'abord 

 que l'équation tangeutielle d'une surface du second degré S s'obtient en 

 égalant à zéro le contrevariant 2 qui est l'évectant de A 



ce qui exprime que le plan olx -f- $y -\- 73 -j-° y =^ es t tangent à la 

 surface. L'équation 2 = est homogène, du second degré en a, |J, 7, c, 

 et peut s'écrire 



Aa'--fBp 2 -f-C7 2 -|-D5 2 



+ 2L(3y -f 2My« + 8N«P -f- 2Pa2 -f 2Q03 + 2R78 = 0, 



et A, B, (>,..., sont précisément, comme il est facile de le voir en dé- 

 veloppant S, les coefficients de a', b', c, . . ., dans l'invariant 0, pris avec 

 leurs signes, On a, par exemple 



a m p 



L =1 — n I q 



h r d 



