H. PICQUET. — DES INVARIANTS 1217 



Supposons maintenant que l'on ait formé de même l'équation tangen- 

 tielle de la surface T, 



et cherchons le coefficient ®\ de \j?, dans la fonction 2 -f- t*T; il se dé- 

 duira évidemment du coefficient 0' de X 3 , dans S -J- XT, en y changeant 

 les petites lettres en grandes lettres. Or, on a (7) 



&+... 



R 



Mais les coefficients respectifs de A, B,. ., dans 0', sont des déter- 

 minants dont les éléments sont les mineurs des éléments correspondants 

 du discriminant A' ; ce sont des mineurs du premier ordre du détermi- 

 nant réciproque de A', ils sont donc égaux respectivement (*) à l'élé- 

 ment complémentaire de A', multiplié par A' 2 , généralement par A'"-' 2 , 

 n étant le nombre des colonnes de A'. On a donc : 



1 =A" 2 [Afl' + B/y+Cc'+Drf'-f-2L/-f2Mm'-|-2N/i'-f-2P i /+2Qg'-f2Rr'] 

 ou précisément 



Ainsi, lorsque sera nul. 0', sera nul. Cela posé, il résulte de la 

 démonstration directe que si T est harmoniquement circonscrite à S 

 lorsque est nul, par symétrie S sera harmoniquement cirnonscrite à T 

 lorsque sera nul. Mais le calcul d'où cela résulterait, interprété en 

 coordonnées tangentielles, démontrerait que lorsque & t est nul, la sur- 

 face S est harmoniquement inscrite à la surface T. Or, 0' 4 est nul en 

 même temps que : donc lorsque est nul, S est harmoniquement 

 inscrite à T. 



10: — Le tétraèdre n'est pas le seul système de points ou plans que 

 l'on puisse considérer comme conjugué à une surface du second degré. 

 M. P. Serret a fait voir que toutes les fois que l'on peut mettre l'équa- 

 tion de la surface sous la forme 



Pi, Pi, étant les premiers membres des équations de cinq plans, le 



(*) Salraon, Leçons d'algèbre supérieure, traduction française, p. 32. 



