4218 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



pentaèdre dont ces plans sont les faces, est tel que la droite d'intersection 

 de deux quelconques d'entre eux est dans le plan polaire du point 

 commun aux trois autres; ou encore la polaire de cette droite passe 

 par le point de rencontre des trois autres : le pentaèdre est alors dit 

 conjugué à la surface. La définition corrélative du pentagone conjugué 

 s'en déduit aisément; un côté quelconque passe par le pôle du plan 

 opposé, ou bien sa polaire est dans le plan opposé (*). Nous allons 

 chercher à construire un pareil système de points ou plans, et noua 

 verrons que la condition 0=0 exprime encore soit que l'on peut ins- 

 crire dans T des pentagones conjugués à S, soit circonscrire à S des 

 pentaèdres conjugués à T ; nous supposerons, par exemple, qu'il s'agisse 

 d'un pentaèdre. 



Pour cela, donnons-nous trois faces PjP^Pvjdu pentaèdre ; abso- 

 lument quelconques ; le sommet 

 P 3 P.4 P 5 doit être sur la polaire 

 de l'arête P, P 2 , il sera donc à 

 l'intersection de cette polaire et 

 du plan P 3 ; de même, les som- 

 mets P 2 P 4 P.-„ Pj P t P-, seront res- 

 pectivement à l'intersection des 

 polaires des arêtes Pj P 3 et P 2 P a 

 avec les plans P 2 et P, ; d'autre 

 part, ces trois sommets sont tous 

 sur l'arête P 4 P 5 . Donc, si dans le 

 trièdre P, P 2 P 3 nous traçons la 

 droite sur laque' le se trouvent, 

 d'après un théorème connu, les 

 points d'intersection respectifs de 

 la polaire de chaque arête avec la 

 face opposée , cette droite sera 

 l'arête opposée au sommet Pj P 2 

 P 3 . Si par cette droite P 4 P 5 on 

 mène un plan quelconque P 4 , ce 

 plan combiné avec deux quel- 

 conques des trois premiers P t et 

 1\ déterminera comme précé- 

 demment l'arête P 3 P 5 du pen- 

 taèdre, laquelle sera dans le plan P 3 et rencontrera l'arête P 4 P5 de façon 

 à déterminer avec elle le plan P 5 . Si ces deux assertions sont justifiées, 

 le pentaèdre sera construit. Représentons à cet effet le tétraèdre formé 



l'ig. 71. 



(*) Géométrie de direction, p. y:>. 



