H. PICQUET. — DES INVARIANTS 4219 



par les plans P,, P 2 , P 3 , P 4 : soit A le point commun aux trois pre- 

 miers, et soit 1,2,3, l'arête P 4 P 5 passant par les sommets 1,2,3, déter- 

 minés plus haut. Le plan P 4 passant par cette arête, ses droites d'in- 

 tersection avec les trois premiers plans passeront respectivement par ces 

 trois points. Cherchons maintenant l'arête opposée au sommet B(Pj P 2 P 4 ): 

 pour cela, traçons les polaires 11', 22', 33' des arêtes qui se coupent 

 en A ; afin de déterminer cette arête, nous prendrons d'abord la po- 

 laire 33' de l'arête BA du trièdre B, et nous chercherons son intersec- 

 tion avec le plan opposé P 4 du même trièdre, qui est évidemment le 

 point 3 ; l'on voit donc déjà que l'arête cherchée rencontre la première 

 au point 3. Ensuite, nous chercherons l'intersection de la polaire de 

 l'arête BG (P^) avec le plan opposé P 2 du trièdre B: or, cette arête 

 rencontre au point 1 la polaire 11' de l'arête AD, donc sa polaire et 

 l'arête AD seront dans un même plan, plan polaire du point 1, et se 

 rencontreront en un certain point 4, qui sera par conséquent l'intersec- 

 tion de cette polaire et du plan P 2 ; de même, l'intersection de la 

 polaire de l'arête BD (P 2 P. 4 ) avec le plan l\ sera un certain point 5 de 

 l'arête AC, les points 3,4,5 seront en ligne droite pour les mêmes rai- 

 sons que les points 1,2,3, et l'on voit qu'ils sont tous les trois dans 

 le plan P 3 : le plan P 5 sera donc le plan des arêtes 1,2,3 et 3,4,5. 



11. — Dans le cours de cette construction, nous avons disposé de 

 dix indéterminées, savoir neuf pour les trois faces P l5 P 2 , P 3 choisies 

 arbitrairement, et une pour la face P 4 passant par la droite détermi- 

 née 1,2,3. Un système de cinq plans dépend d'ailleurs, en général, de 

 quinze paramètres arbitraires; il en résulte que s'il doit être conjugué 

 à une surface du second degré, il est assujetti à cinq conditions. 11 sem- 

 blerait résulter de là qu'on peut en outre l'assujettir à être circonscrit 

 à une deuxième surface, puisqu'il reste plus d'indéterminées qu'il n'en 

 faut pour remplir ces conditions. Il n'en est rien, et nous allons mon- 

 trer que si la première est la surface T, et la seconde la surface S, il 

 faut pour cela que la condition © = soit satisfaite, ce qui prouvera 

 en outre que si, dans la construction du pentaèdre conjugué à T on a 

 choisi les plans P 1? P 2 , P 3 , P 4 tangents à S, ce qui est toujours possible 

 d'après cette construction, la face P 5 qui en résulte sera nécessairement 

 tangente à S, si © est nul. Il suffira pour cela de faire voir que lorsque 

 le pentaèdre conjugué à T et circonscrit à S existe, est nul, car alors 

 si n'est pas nul, le pentaèdre ne pourra pas exister. 



Prenons donc quatre faces du pentaèdre pour tétraèdre de référence 

 et soit 



P = eux -j- $V + Y* + ^ v = 0' 

 l'équation de la cinquième. Puisque S est tangente aux cinq faces, on 

 aura pour les quatre premières 



