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que si un de ces pentaèdres existe, il y eu aura une infinité. Ainsi : 

 Si l'on peut circonscrire à une surface du second degré S un pen- 

 laèdre conjugué d'une autre surface T, on peut en circonscrire une in-, 

 fini té, et la condition nécessaire et suffisante pour que cela soit possible 

 est que l'invariant commum ® soit nul, ou que la surface T soil harmo- 

 niquement inscrite à la surface S. 



42. — La construction du pentagone conjugué à une surface du se- 

 cond degré se déduirait facilement, par voie de dualité, de celle du pen- 

 taèdre. 



Le calcul précédent, dans lequel on changerait les lettres accentuées 

 en lettres non accentuées, et réciproquement, démontrerait que 0' = 

 est la condition pour qu'on puisse circonscrire à T des pentaèdres con- 

 jugués de S. Ce dernier calcul, interprété en coordonnées tangentielles, 

 prouverait que si le & tangentiel (9) est nul, on peut inscrire dans la 

 surface T des pentagones conjugués de S. Mais le (-)' tangentiel est égal 

 à A' 2 : si donc est nul, il est aussi nul, et par suite lorsqu'on peut 

 circonscrire à S des pentaèdres conjugués de T, on peut inscrire dans 

 T des pentagones conjugués de S. 



43. — On peut enfin considérer comme conjugué à une surface du 

 second degré un système de six points, hexagone, ou système de six 

 plans, hexaèdre (*). Dans le premier cas, le plan de trois quelconques 

 des points renferme le pôle du plan des trois autres; dans le second, le 

 point commun à trois quelconques des plans est situé dans le plan po- 

 laire du point commun aux trois autres. On peut aisément en trouver 

 une construction géométrique : nous indiquerons celle de l'hexaèdre 

 conjugué, qui est analogue à celle du pentaèdre. On choisira arbitraire- 

 ment quatre plans quelconques ; le lieu de l'intersection des deux autres 

 sera alors un hyperboloïde à une nappe, défini par les quatre droites 

 d'intersection de chaque face de ce tétraèdre avec le plan polaire du 

 sommet opposé ; une génératrice quelconque de cet hyperboloïde, de 

 système contraire à ces quatre droites, sera l'intersection des deux au- 

 tres. Par cette droite on fera passer un cinquième plan qui déterminera 

 le sixième ; cet hexaèdre est assujetti à quatre conditions. Néanmoins, 

 on ne peut pas en général faire en sorte qu'il soit circonscrit à une 

 deuxième surface du second degré, et l'on verrait aisément par un cal- 

 cul analogue à celui du pentaèdre, que si la première est la surface T 

 et la seconde la surface S, il faut encore pour cela que l'invariant 

 soit nul, et qu'enfin dans les mêmes circonstances, on peut inscrire 

 dans T des hexagones conjugués à S. 



(*) P. Serret, ibid., p. ;6. 



