H. PICQUET. — DES INVARIANTS 1223 



T^T.,, . . . T 10 — «y satisfont, et elle renferme 9 — n paramètres arbitraires. 

 C'est le système linéaire, ponctuel, d'ordre 9 — n. 



Corrélativement, si S> t , S 2 , ... S n sont les n surfaces auxquelles toutes 

 celles du système sont harmoniquement circonscrites, et que 5^, Z 2 , . . . Z n 

 soient les premiers membres de leurs équations tangentielles, chacune 

 d'elles, en vertu du théorème de réciprocité, est harmoniquement ins- 

 crite à toutes celles du système, et par suite toutes celles dont l'équation 

 générale tangentielle est 



;;,, Sj -j- |A 2 2 2 -j- . . . -f- [J. tl S« = 0. 



C'est l'équation générale du système linéaire, tangentiel, d'ordre n — /, 

 d'après la définition même du système linéaire ponctuel. De là résultent 

 les théorèmes suivants : 



A un système linéaire ponctuel, d'ordre p, c'est-à-dire à l'ensemble des 

 surfilées harmoniquement circonscrites à 9 — p, surfaces données, corres- 

 pond un système linéaire tangentiel d'ordre 8 — p, c'est-à-dire l'ensemble 

 des surfaces harmoniquement inscrites a p-\-1, surfaces données. 



Toutes les surfaces du système ponctuel sont harmoniquement circon- 

 scrites à toutes celles du système tangentiel ç«i, de leur côté, sont toutes 

 harmoniquement inscrites à chacune des premières (*). 



Nous aurons ultérieurement à étudier tous les cas possibles depuis 

 p = i jusqu'à p = H; les quatre derniers se déduiront des quatre autres 

 par voie de dualité. 



Actuellement, nous nous bornerons à examiner les cas particuliers les 

 plus intéressants de la condition 0=0. 



16. — Si la surface ï se réduit à deux plans 



P l = a 1 œ -f P#+Yi* + 3i«=0 



P. 2 = a. 2 x -f- 022/ + Ï2 3 + =2 y = 



son équation deviendra 



T=(a 1 x+ l 3 1 y-f-Y,s-f-o 1 v) {a % x-\-^y-{-^z-\-\v) = 

 et l'invariant sera de la forme 



Aa 1 a,-f-Bp 1 p J . 2 -hC ïlÏ2 -fDo 1 o. 2 -f-L(p 1Ï2 -l- Tll 3 2 )+M( Tl a 2 + a 1 v 2 ) 

 + N(a i p J2 +fi 1 a 2 )+P(a 1 â 2 -f-o 1 a,) + Q(p i o 2 -|-o ll 3. 2 )4-R(Y 1 3 2 + S 1Ï2 ) 

 ce qui peut s'écrire sous forme de déterminant 



(*) Ces deux théorèmes fondamentaux sont la base de la théorie des systèmes linéaires de 

 surfaces du second degré. A qui les attribuer? M. Smith doit en avoir sa part comme ayant 

 énoncé le premier les théorèmes plans analogues, qui les contiennent évidemment. Nous récla- 

 merions volontiers la nôtre comme ayant énoncé les mêmes théorèmes, sans avoir connaissance 

 des travaux de M. Smith, dans un ouvrage paru en 1872, mais qui s'est trouvé dès 18G9 entre 

 les mains de M. Mannheim. Enfin, M. Darboux a donné le premier les énoncés relatifs aux sur- 

 faces [Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, t. I, 1870) en y joignant une série 

 d'impurtants théorèmes sur lesquels nous reviendrons. 



