H. PICQUET. — DES INVARIANTS 122o 



x { x.i(ï -f- ,'/i U-2 V + - 5 i «2 c ' + ?; i *> 2 rf'+ (i/i s 2 + -i 2/2) F -h ( -1 o?2 + x i z -i) m 

 + fa i/-> + //, acj) m' + fa y 2 + i'i œ. 2 ) // -f ( //, r, -f ^ y 2 ) 7' -j-(«, v 2 -f v, a 2 ) r' 



c'est-à-dire 



x { {n'x-i -f /;'</, -f m's 2 -hp'v 2 ) -f rji (n\c, -f ft'y 2 -f /'s 2 -f g'v 2 ) 



-f- -\ (mx* -f /'//., -f- c'» 2 + r'v a ) -f Vi (p'x., -j- g't/ 2 -f r'z.> -J- dv 2 ) 

 ou 



f/T dT rfT rfT 



^MTI + ^^+^M^ + 'M^ 



S'il est nul, c'est précisément Ja condition qui doit être remplie pour 

 que les deux points soient conjugués par rapport à T. Ainsi 



Un système de deux points conjugués par rapport à une surface du 

 second degré peut être considéré comme une surface harmoniquement 

 inscrite à celle-ci. 



Si les deux points se confondent, la condition devient 



f/T . d'î dl dl 



ox t J dy i ' dSi ' dv i 



ou, en vertu du théorème des fonctions homogènes, 



T l =f(x l , (/,, -,, r,) = 



c'est-à-dire que le point est sur la surface. 



Un point d'une surface du second degré peut être considéré comme 

 une surface qui lui est harmoniquement inscrite. 



C'est la première condition linéaire que l'on étudie lorsqu'il s'agit de 

 déterminer une surface, et l'on voit comment elle se déduit de la con- 

 dition qui donne, entre les coefficients de la surface, la relation linéaire 

 la plus générale. 



18. — Si la surface T se réduit à un cône, dont nous supposerons 

 pour plus de simplicité que le sommet est le point (x = Q, y—0, 3=0), 

 son équation devient 



T = a'x 1 + b'y 2 -f c V 2 -f- 2 l'y» + ïm'zx -f 2 n'xy = 



et l'invariant se réduit à 



Ao'+B6'+Cc'4-2LZ'+8Mm'+8Nn' 



S'il est nul, cela exprime précisément que le cône T et le cône de 

 même sommet circonscrit à S se partagent harmoniquement, le pre- 

 mier étant harmoniquement circonscrit au second. En effet, l'équation 

 du second est 



{ad— p?) x l + (bd—f) y 2 -f (cd— r 2 ) z 1 -f 2 (Id — qr) yz 

 -f- 2 (md — rp) zx -\- 2 (nd — pq) xy = , 



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