1226 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



L'invariant commun à cette fonction à trois variables et à la fonction 

 T, linéaire par rapport à ï, n'est autre (2) que 



[{bdr— q-)(cd— r 2 )— ( kl— qrf] a-\- [(cd— r 2 )(od— p 2 )—(md— rp) 2 ]6'-j- 



ou précisément 



d [ka'+BV -f Ce' + 2L/' + 2Mm' + 2Nn'] 

 car 



{bd—q 1 ) (cd — r-) — (kl—qr) ' 2 = d (6cd + 2 tyr— bf 2 —cq i —dP) = d\ 



de même pour B, C, L, M, N. 



Si donc est nul, l'invariant commun aux deux cônes l'est aussi. 

 Donc, 



Si un cône du second degré est harmoniquement circonscrit à une 

 surface du second degré, cela revient à dire qu'il est harmoniquement 

 circonscrit au cône du même sommet, circonscrit à la surface. 



19. — Si la surface S se réduit à une conique, située, par exemple, 

 dans le plan v = 0, son équation tangentielle se réduit à 



S = Aa 2 -f B0 2 + Cf + 2L0Y + 2 3rya + 2 Na0 = 0, 



laquelle exprime que l'intersection avec le plan v = du plan 



fl«c + Py + Y* + 8v = 



enveloppe une conique. L'invariant se réduit dès lors à 



Ao' + Bb' + Cc'-f 2U'+"2Mm' + 8Nn' 



et s'il est nul, cela signifie précisément que la conique est harmonique- 

 ment inscrite à la courbe 



a'x* + by + c'ï 1 + 2 l'yz + 2m zx + 2 n'xy = 0, 



suivant laquelle la surface ï coupe le plan de la conique S. Donc 



Si une surface du second degré harmoniquement inscrite à une autre 

 se réduit à une conique, cela veut dire que cette conique est harmoni- 

 quement inscrite à la courbe d'intersection de so)i plan avec l'autre 

 surface . 



20. — Nous supposerons maintenant qu'une des surfaces est une 

 sphère. Pour cela, nous emploierons les coordonnées cartésiennes aux- 

 quelles s'appliquent évidemment les théorèmes démontrés, lesquels ne 

 lont aucune hypothèse sur la situation du plan v = et n'empêchent 

 pas de le supposer à l'infini. Il suffira donc de faire dans les formules 

 v == 1. Si la surface S est une sphère, on aura, dans ce système de coor- 

 données, 



S = (>-a) 2 + (!/ — p)*4-( 3 _ ï; *_p2 = 



