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pour l'équation de cette surface, a, (3, 7 étant les coordonnées du centre 

 et p le rayon. Il est facile de calculer (9) les coefficients tangentiels de 

 S, qui deviennent alors 



A = a i — p 2 B=(3 2 — p* C = y 2 — P'' D=1 L = Pï M=y« N=a0 

 La condition = s'écrira 



4. d' + 2 ffr +2 m'Y« 4 2 »'a(3 + 2/>'a 4- 2 g'£ 4 2 r'7 = 

 d'où l'on tire 



, __ aV- 4 6'ft 2 4 cY 4 rf' 4 2 ffrf 4 2 w> 4 2 n'afi 4 2 p'a 4 2 </'P 4 2 r'y 

 P " — a 4 6' 4 c' 



a 



'•+&'+c 



Ainsi, si l'on se donne un point (a, (3, 7) et que, de ce point, comme centre, 

 on décrive une sphère réelle ou imaginaire, dont le carré du rayon soit 

 égal au résultat de la substitution des coordonnées du point dans le 

 premier membre de l'équation de la surface, divisé par la somme des 

 coefficients des carrés des variables, cette sphère sera harmoniquement 

 inscrite à la surface, laquelle sera conséquemment circonscrite à des 

 tétraèdres, pentagones ou hexagones conjugués à la sphère. Ce rayon 

 s'annule pour les points de la surface T et, par suite, il est réel pour 

 les points qui sont d'un côté de la surface, imaginaire pour les 

 autres. Nous lui donnerons le nom de puissance orthoptique du point 

 par rapport à la surface, sauf à justifier plus tard cette dénomination. 



21. — Ceci nous amène à rechercher s'il existe une ou plusieurs 

 sphères conjuguées à un tétraèdre, ou à un pentagone ou hexagone 

 gauche. A priori, il résulte de la formule même 



2« \ P = 



! n n 



sous laquelle M. P. Serret met l'équation tangentielle d'une surface du 

 second degré conjuguée au polygone de n sommets, que si le polygone 

 a quatre sommets, l'équation ne renfermera plus que trois paramètres 

 arbitraires, lesquels ne satisferont pas, en général, aux cinq conditions 

 qui exprimeront que la surface e>t une sphère. Le tétraèdre donné devra 

 donc, en général, satisfaire à deux conditions. Géométriquement, il est 

 clair que chaque sommet étant, par rapport à la sphère, le pôle de la 

 face opposée, chaque hauteur du tétraèdre devra passer par le centre 

 de la sphère; de plus, le produit des segments comptés sur chaque 



