1228 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



hauteur à partir du centre de la sphère jusqu'au sommet d'une part et 

 jusqu'à la face opposée de l'autre devra être constant sur chaque hau- 

 teur et égal au carré du rayon de la sphère. Or, en général, les quatre 

 hauteurs d'un tétraèdre sont sur un même hyperboloïde et ne se ren- 

 contrent pas. 11 faudra donc, pour qu'un tétraèdre admette, une sphère 

 conjuguée, que les quatre hauteurs se coupent en un même point. Ce 

 point sera le centre de la sphère, et son rayon sera le produit indiqué 

 tout à l'heure, et qui se trouve constant, comme on peut le démon- 

 trer. 



De même, un pentagone gauche devra satisfaire à une condition ana- 

 lytique pour admettre une sphère conjuguée. Géométriquement, les plans 

 menés par chaque arête perpendiculairement au plan opposé se couperont 

 en un même point qui sera le centre de la sphère. Le carré du rayon sera 

 égal au produit constant des segments comptés à partir de ce point sur 

 les perpendiculaires menées sur chaque plan de trois sommets, jusqu'à 

 ce plan, d'une part, et jusqu'à l'arête opposée, de l'autre. Il en résulte 

 le théorème suivant : 



Lorsque, dans un pentagone gauche, quatre des dix plans menés par 

 chaque arête 'perpendiculairement au plan opposé passent par un même 

 point, les six autres s'y coupent également, puisqu'une condition suffit 

 pour que le pentagone ait une sphère conjuguée. 



Quant à l'hexagone gauche, le problème sera possible en général, et 

 nous verrons plus loin (26) qu'il admet deux solutions. 



Ainsi se trouve délinie la puissance orthoptique d'un point par rapport 

 à une surface du second degré. C'est le rayon de la sphère conjuguée 

 aux hexagones, pentagones ou tétragones gauches inscrits dans la sur- 

 face et pour lesquels ce point est le centre d'une sphère conjuguée. 

 Nous verrons qu'elle est susceptible d'autres définitions géométriques. 



22. — Théorème. — La puissance orthoptique d'un point par rapport 



ii une sphère s'obtient en divisant par y 3 la longueur de la tangente 

 issue de ce point. 



Ceci est évident analytiquement, car si T = est le premier membre 

 de l'équation de la sphère dans lequel les carrés des variables ont 

 l'unité pour coefficient, T représente précisément le carré de la tangente 

 issue du point considéré; or on a (20) 



R2= T( a| (Vf,) 



a' + b'+c 



d'où 1\=: V/J.. La démonstration géométrique suivante nous en a été 



communiquée par M. E. Lemoine. 



