II. PICQUET. — DES INVARIANTS 1229 



Lemme I. — Quand, dans un tétraèdre ABCD, les hauteurs se coupent 

 au même point w, les arêtes opposées sont perpendiculaires. 



Vis. 



Soient en effet Aa, Bp deux hauteurs se coupant en w ; le plan ABw 

 est perpendiculaire à la face ACD puisqu'il contient B[ù, et à la face BCD 

 puisqu'il contient Aa : il est donc perpendiculaire à leur intersection 

 CD; par suite, CD est perpendiculaire à AB, qui est située dans ce plan. 



Lemme II. — Dans un tétraèdre dont les hauteurs se rencontrent, le 

 pied a d'une hauteur est le point de concours des hauteurs du triangle 

 CED formé par la face sur laquelle tombe cette hauteur. 



Soit I le point où le plan ABto coupe CD, Bal sera la trace de ce plan 

 sur BCD ; or BI est perpendiculaire sur CD comme étant située dans le 

 plan ABw ; il résulte de là qu'une quelconque des hauteurs du triangle 

 BCD contient le point a . Déplus, B(3w est perpendiculaire sur la face 

 ACD comme hauteur, elle est située dans le plan ABw, qui est aussi 

 perpendiculaire à ce plan ; elle est donc perpendiculaire à l'intersection 

 IA[3 ; ce qui fait voir qu'en outre le point w est le point de concours 

 des hauteurs du triangle ABI. 



Cela posé, soit V le point où Ba coupe le cercle circonscrit à BCD ; 

 on a, d'après un théorème de géométrie plane, aV = 2.aI ; mais si K est 

 le second point d'intersection de Aa avec la sphère circonscrite au 



tétraèdre ABCD, on a 



ali . aA = aB . aV 

 par suite 



aK.aA=aB.2aI 

 d'où 



aB.al 



aK = '2 



aA 



