1230 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



De plus, les triangles rectangles semblables waB, Aal donnent 



aw al 

 al» a A 



d'où 



_ aR. al Tr _ 



2.aw=2 : — = ah. ou wK=oo)a. 



aA 



Or, d'une part, wA.wK représente le carré de la tangente menée du point 

 lo à la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. D'autre part, wA.coa repré- 

 sente le carré du rayon de la sphère conjuguée au tétraèdre (21). Le 



rapport de ces deux carres est donc égal au rapport — , ou a ô ; ce 



qui donne la relation cherchée 



T 



d'où 



»=vî 



Si le point w se trouvait à l'intérieur du tétraèdre, les deux segments 

 toA, G)K seraient comptés en sens inverse et le rayon de la sphère con- 

 juguée serait imaginaire. La propriété wK=3wa, analogue à celle du 

 triangle inscrit dans un cercle, n'en subsiste pas moins. 



23. Théorème. — La puissance orthoptique d'un point par rapport 

 à un hyperboloïde est égale à la puissance du même point (*) par rapport 

 aux sections planes de la surface par des plans menés par ce point per- 

 pendiculairement aux génératrices du cône asymptote. 



Car si ABC est un des triangles inscrits dans la section plane consi- 



« 



dérée et ayant le point donné pour point de concours de hauteurs, si 

 D est le point à l'inlini sur la génératrice G du cône asymptote per- 

 pendiculaire à ce plan, le tétraèdre ABCD est inscrit dans la surface, 

 et ses hauteurs concourent au point donné. 



En particulier, dans ce plan, la puissance du point par rapport à la 

 conique d'intersection peut se mesurer, sur la perpendiculaire abaissée 

 du point sur une asymptote H de la courbe, par le produit des seg- 

 ments comptés à partir du point jusqu'aux points d'intersection de la 

 perpendiculaire avec la courbe (**). Or cette droite est aussi perpendi- 

 culaire sur la génératrice G du cône asymptote, puisqu'elle est située 

 dans le plan sécant ; d'ailleurs l'asymptote H, située aussi dans ce 

 plan sécant, est parallèle à une autre génératrice du cône asymptote 



(*) Systèmes linéaires de coniques, p. 64. — La puissance orthoptiquo d'un point par rapport 

 à une conique est le rayon du cercle conjugué commun à tous les triangles inscrits dans la 

 courbe et dont les hauteurs concourent en ce point. 



I**) Ibid., p. 66. 



