II. PICQUET. — DES INVARIANTS 1231 



perpendiculaire à la première : on peut donc dire que l'on peut mesurer 

 la puissance du point sur toute droite perpendiculaire à un des plans 

 qui coupent le cône asymptote suivant des génératrices rectangulaires. 

 Donc 



La puissance orthoptique d'un point par rapport à un hyperboloïde est 

 égale à la racine carrée du produit des segments comptés à partir du 

 point sur une perpendiculaire à un plan quelconque coupant le cône 

 asymptote suivant deux droites rectangulaires, jusqu'aux points d'inter- 

 section de la droite avec la surface. 



24. — Cette droite, perpendiculaire à un plan qui coupe le cône 

 asymptote suivant deux droites rectangulaires, engendre un certain cône 

 qui demeure le môme et ne fait que se transporter parallèlement à lui- 

 même, lorsque le point donné varie dans l'espace. Il est facile de trouver 

 l'équation du cône parallèle mené par le centre, supposé à l'origine ; 

 si l'équation de la surface est 



l'équation de ce cône est 



(&' + C ) x> + (c' + a' ) ,/- + (a' + V) z 2 = G 



II jouit de la propriété remarquable que si on le transporte parallèle- 

 ment à lui-môme de façon que son sommet soit un point quelconque 

 arbitrairement choisi, il coupe la surface suivant une courbe sphérique. 

 En effet, la puissance orthoptique de son sommet par rapport à la sur- 

 face peut se mesurer sur l'une quelconque de ses génératrices ; le pro- 

 duit des segments interceptés sur chacune d'elle par la surface, segments 

 comptés à partir du sommet, est donc constant, ce qui est suffisant pour 

 que sa courbe d'intersection avec la surface soit sphérique : il en résulte, 

 en outre, que le point considéré, sommet de ce cône, a même plan polaire 

 par rapport à la sphère et à la surface. Il suffit, pour s'en assurer par 

 le calcul, d'ajouter l'équation de la surface avec l'équation 



ib' + C) ( œ _a) 2 + (c' + a') (y- fi)* + (a' + b') (s- Y ) 2 =0 



qui représente le cône dans sa nouvelle position, ayant pour sommet le 

 point (a. p. y). On obtient ainsi l'équation de la sphère 



(ar + b'+cOCa^ + ^+a*)— »«(6' + C)aî— ^(C + aOy 



_2 ï (a'+6>-J-(6' + c')a 2 -f-(c' + a')^ + ( a '+ & ')ï 2 + ^=0 

 sur laquelle on peut vérifier la propriété énoncée relative au plan polaire 

 et remarquer en outre, comme on l'a annoncé, que la tangente menée 

 à cette sphère par le point (a. (3. y) est précisément la puissance du point 

 par rapport à la surface. 



25. — Cette sphère est susceptible d'une autre définition. Appelons 



