1232 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



cône équilatère, comme on le t'ait quelquefois, le cône du second degré, 

 sur lequel on peut mettre les arêtes d'une inimité de trièdres trirectan- 

 gles, et pour lequel on a 



a -f- 6 + c = 0. 



Cette sphère n'est autre que le lieu des perpendiculaires abaissées du 

 point (a. 6. y) sur les plans qui coupent la surface suivant des courbes vues 

 du point sous des cônes équilatères. On pourrait le démontrer géomé- 

 triquement au moyen du théorème correspondant de géométrie plane. 

 Pour faire voir que c'est la même sphère, nous allons chercher son 

 équation. Prenons le point (a. 6. y) pour origine et soit 



T = a'x 1 + b' if + C z>- + d' -f- 2 l'yz + 2 m'zx 



-f- Srixy -f Ipx -f 2r/'y + 2r's = 0, 



l'équation de la surface. L'équation du cône ayant pour sommet l'ori- 

 gine et pour base la courbe d'intersection de la surface avec le plan 



(1) Xx + py + va = 1 

 est 



a'x' 1 -f- b'y- -f- r z'- -f- "2Ï >/z -f- Qiii'z.r -)- Qrixy 



J_ 2 (Xcc + [At/ + v r. ) (y/.r -f ry'// -f- r's) -f d' ( Xtf -f py -f v*) 2 = 0, 



s'il doit être équilatère, on aura entre a, \j., v la relation 



(2) a' + 6' + C + 2 (Xy/ + jitf + v r) + cl (X 2 + p 2 + v 2 ) = 0. 



La perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan a pour équations 



,, x y z 



(3) — = -^- = _ 



A [A V 



Reste à éliminer X, \i, v entre (1), (2), (3). Les rapports (3) et l'équa- 

 tion (1) donnent 



/. ;,. v Xœ + ny+va 



d'où l'on tire X, [/,, v. Substituant dans (2) et divisant par le facteur 

 (x- -f xf- -f s 2 ), il reste 



(«' + 6' + c) (oj» + ï, 2 + ^ 2 ) + 2 (j/œ + y */ + r's) -f- d' = 0. 



Si l'on suppose la surface rapportée à son centre comme précédem- 

 ment, p', g', r sont nuls et l'on obtient la même sphère que la pre- 

 mière, dans laquelle le point (a. 6. 7.) serait supposé à l'origine. 



L'équation langentielle (2) en X,jji,v prouve que le plan (1) enveloppe 

 une surface de révolution du second degré ayant le point donné pour 

 foyer. 



On peut donc donner cette nouvelle délinition de la puissance d'un 

 point : 



