II. PICQLET. — DES INVARIANTS 1233 



C'est la longueur de la tangeri'.e menée du point à la sphère, lieu, des 

 pieds des perpendiculaires abaissées du point sur les plans qui coupent 

 la surface suivant des coniques vues du point sous un cône équilatère. 



Si le point est sur la surface, le plan polaire commun devient le plan 

 tangent en ce point. La sphère et la surface sont tangentes en ce point ; il 

 en résulte que le plan (1) passe par le point fixe delà normale diamétrale- 

 ment opposé dans la sphère, d'où ce théorème connu : 



Si un trièdre trirectangle tourne autour d'un point fixe d'une surface 

 du second degré, le plan des trois points où les arêtes percent la surfin; 1 

 passe par un point fixe de la normale au point considéré. 



26. — Il est impossible de passer sous silence la particularisation de 

 ces propriétés pour le cas où, a -\- b' -f- c étant nul, la surface devient 

 un hyperboloïde équilatère. L'on voit en effet que la puissance d'un 

 point quelconque devient infinie (20) à moins que le numérateur de son 

 expression étant également nul, c'est-à-dire le point étant sur la sur- 

 face, elle ne soit indéterminée. C'est ce que confirme chacune des défini- 

 tions de la puissance; si l'on considère que le plan perpendiculaire à 

 une génératrice du cône asymptote coupe la surface suivant une hyper- 

 bole équilatère, puisque ce cône est lui-même équilatère ; ou encore 

 qu'une droite perpendiculaire à un plan qui coupe le cône asymptote 

 suivant deux droites rectangulaires est elle-même parallèle à une géné- 

 ratrice de ce cône. La partie de la courbe sphérique qui reste à dis- 

 tance finie devient un cercle, et la sphère se réduit à un plan à distance 

 finie. Les énoncés précédents deviennent : 



Les plans qui coupent un hyperboloïde équilatère suivant des courbes 

 vues d'un point donné sous un cône équilatère enveloppent un paraboloïde 

 de révolution ayant le point pour foyer. Le lieu des pieds des perpendi- 

 culaires abaissées du point donné sur ces plans est un plan. 



Si un trièdre trirectangle tourne autour d'un point fixe d'un hyper- 

 boloïde équilatère, le plan des trois points où les arêtes percent la surface 

 demeure parallèle à la normale au point considéré. 



La condition a' -f- b' -f- c ' = étant linéaire par rapport aux coeffi- 

 cients de T, indique que cette surface est harmoniquement circonscrite à 

 celle dont l'équation tangentielle serait 



c'est-à-dire au cercle de l'infini (*). Si donc l'on suppose qu'une sphère 

 et un hyperboloïde équilatère se partagent harmoniquement le plan de 

 l'infini coupant harmoniquement ces deux surfaces, il faudra que son 

 pôle, par rapport à celle des deux qui est harmoniquement inscrite, 



(*) Salmon, Geometry of three dimensions, 1874, p. 165. 



