1234 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



c'est-à-dire le centre de cette dernière surface, soit sur l'autre. Ainsi : 



Lorsqu'une sphère et un hyperboloide équilatère se partagent harmoni- 

 quement, celle des deux surfaces gui est harmoniquement circonscrite 

 passe par le centre de Vautre. 



On ne pourra donc pas prendre un point quelconque de l'espace pour 

 centre d'une sphère harmoniquement inscrite à l'hyperboloïde, puisque 

 ce centre ne saurait être ailleurs que sur l'hyperboloïde, et c'est pour 

 cela que la puissance d'un point est infinie s'il n'est pas sur la surface, 

 indéterminée dans le cas contraire. Il en résulte les théorèmes suivants : 



Lorsqu'un hyperboloide équilatère est circonscrit à un tétraèdre dont 

 les hauteurs se rencontrent, il passe par le point de rencontre des hauteurs; 



Lorsqu'un hyperboloide équilatère est circonscrit à un pentagone dont 

 les plans-hauteurs concourent en un même point, il passe par ce point; 



Lorsqu'un hyperboloide équilatère passe par six points, il passe par 

 les centres des sphères conjuguées à l'hexagone des six points. 



Dans ce dernier cas, la surface est assujettie à sept conditions linéaires 

 provenant des six points et de la relation 



a -f V + c! = 0. 



Or nous verrons que toutes les surfaces du second degré qui se 

 trouvent dans ce cas ont huit points communs. Faisant abstraction des 

 six premiers, on voit qu'il en reste deux. Un hexagone gauche admet 

 donc deux sphères conjuguées (21). 



27. — Pour ne dire qu'un mot du paraboloïde, nous ferons seule- 

 ment remarquer que la puissance d'un point par rapporta cette surface 

 est égale à la puissance du point par rapport à une section plane per- 

 pendiculaire à l'axe. 



28. — Si la surface harmoniquement circonscrite T est une sphère, 

 son équation devient 



T = {x - «)» + (y - p)« + (z - Y ) 2 - P 2 = 0, 

 ce qui donne . 



a' = b' = c' = \; l'=m'=n' = 0; p' = — a; g'=— 0; /•' = — 7; 

 et d'=a 2 + p 2 -fY 2 — P 2 



La condition O = devient alors : 



A+B+C+D(a* + pa+ T * — p*)— Pa— Qp— R Y =0, 

 d'où l'on tire : 



p^-i^a^ + ^-fY^-Pa-Qp-RY + A + B + c] 

 Le second membre n'est autre que le résultat de la substitution de a, 



