H. PICQUET. — DES INVARIANTS 1235 



(J, y» à la place des coordonnées x, y, z, dans le premier membre de 

 l'équation de la sphère concentrique à la surface S, et dont le rayon 

 est la somme des carrés des demi-axes de cette surface. Si, en effet, on 

 suppose la surface rapportée à son centre, P, Q, R sont nuls en môme 



temps que p, q, r et — ■ — , qui représente le rayon de la 



sphère, est précisément la somme des carrés des demi-axes. Cette sphère, 

 nous l'avons nommée ailleurs (*) sphère orthoptiquc de la surface, 

 parce qu'elle est le lieu des points de l'espace d'où l'on voit la surface 

 sous un cône équilatère de seconde espèce (**). Si donc une sphère est 

 harmoniquement circonscrite à une surface du second degré, son rayon 

 est égal à la longueur de la tangente menée de son centre à la sphère 

 orthoptique. Cette longueur, déterminée pour chaque point de l'espace, 

 sera la puissance orthoptique de seconde espèce du point par rapport à 

 la surface. C'est le rayon de la sphère conjuguée commune à tous les 

 tétraèdres ou pentaèdres à sphère conjuguée, et à tous les hexaèdres, 

 pour lesquels ce point est le centre d'une sphère conjuguée, et circon- 

 scrits à la surface. Il en résulte que toute sphère harmoniquement cir- 

 conscrite coupe à angle droit la sphère orthoptique. 



Nous avons vu (21) quand et sous quelles conditions un tétraèdre peut 

 avoir une sphère conjuguée. Un pentaèdre devra remplir une condition 

 pour en avoir une, et alors les dix plans menés par chaque sommet 

 perpendiculairement à l'arête opposée passeront par un même point, ce 

 qui conduit à ce théorème : 



Si quatre des dix plans-hauteurs d'un pentaèdre concourent en un 

 même point, les six autres concourent également en ce point (***). 



Eniin, si l'on remarque que lorsque deux points sont conjugués par 

 rapport à une sphère, comme cela arrive pour les sommets opposés 

 d'un hexaèdre, la sphère est coupée orthogonalement par celle qui a 

 pour diamètre le segment qui les joint, on démontre facilement que les 

 dix sphères ayant pour diamètres les dix diagonales d'un hexaèdre ont 

 même centre radical, et que l'hexaèdre admet une sphère conjuguée qui 

 est leur sphère orthogonale commune ( ***) . 



29. — Un cas particulier intéressant est celui où la surface est un 

 paraboloïde, pour lequel on sait que la sphère orthoptique se réduit à 



(*) Systèmes linéaires de coniques, p. 81. 



(**) On attribue souvent indistinctement la dénomination de cônes équilatères à ceux sur les- 

 quels on peut mettre des trièdres trirectangles, ou à ceux auxquels l'on peut circonscrire ces 

 mêmes trièdres : dans ces derniers, c'est la somme des carrés des axes qui est nulle. Nous 

 avons proposé [Nouvelles Annales de mathématiques, 1866, p. 155) de les distinguer par leur 

 espèce. 



(***) P. Serret, Nouvelles Annales de mathématiques, 1865, p. 207. 



[****) Ibid., p. 205. 



