152 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



— Séance du Z aTi-il 1888 — 

 M. Emile LEMOINE, anc. Élève de l'Kc. Polyt., à Paris. 



De la mesure de la simplicité dam les sciences mathématiqttes. — Toute science 

 mathématique s'appuie sur un petit nombre de vérités irréductibles entre elles et 

 admises sans démonsiration; soient A, B, C, etc., ces vérités fondamentales 

 d'une certaine science, tous les théorèmes qui constituent cette science se dé- 

 duisent de A, B, C, etc., par voie syllogistique. 



Ceux qui dépendent directement de A, B, C, etc. seuls sont dits de l*''" ordre. 



Ceux qui ne dépendent que de A, B, C, etc., et de ceux du l^'" ordre sont dits 

 du 2'""° ordre. 



Ceux qui ne dépendent que de A, B, C, etc., et de ceux du i^^" et du 2""" ordre 

 sont dits du 3'""" ordre, etc. 



Ceux qui ne dépendent que de A, B, C et de ceux des n premiers ordres sont 

 dits du n + l*"" ordre. 



La simplicité absolue d'une proposition ne dépend que de son ordre et est me- 

 surée par cet ordre. 



La simplicité relative d'une proposition dépend du nombre de prémisses 

 qu'il a fallu pour l'établir, toutes les propositions employées dans les syllogismes 

 ne comptant que pour un chacune, comme prémisses, quel que soit leur ordre. 



On peut déduire de là une sorte d'échelle d'avancement d'une science ma- 

 thématique et un moyen d'apprécier la valeur didactique des diverses méthodes 

 employées pour son exposition. 



On peut, en géométrie, apphquer la même idée à la mesure de la simplicité 

 d'une constructioîi faite au moyen de la règle et du compas, car toutes les opé- 

 rations effectuées par ces instruments se réduisent à des éléments simples. 



Pour la règle : 



1° Faire passer le bord de la règle par un point donné. . . Opération R, 

 2° Tracer la ligne en suivant le bord de la règle » R2 



Pour le compas : 



l» Mettre la pointe du compas en un point donné » Ci 



2'' Mettre la pointe du compas en un point quelconque d'une 



ligne donnée • » C^ 



3° Tracer la ligne elle-même avec le compas » C3 



Toute construction se réduira à un certain nombre de ces opérations, sa sim- 

 plicité sera donc exprimée par niRi + "2l^2 + "a^'i + ^4^2 -f "5C3 ou plus 

 simplement (ce qui n'est pas tout à fait exact), en admettant une valeur égale à 

 chacune des opérations élémentaires par : n^ + 112 + % -|- "4 -j- «5- L'intérêt pra- 

 tique de ces considérations se trouve dans la possibilité du choix rationnel d'une 

 construction lorsqu'il y en a plusieurs pouvant être employées, dans l'appré- 

 ciation des méthodes de la statique graphique, etc. 



L'auteur termine par quelques considérations sur l'élégance en mathématiques. 



