CH. BERDELLÉ. — ARITHMÉTIQUE DES DIRECTIONS ET ROTATIONS 169 



Discussion. — M. Laisant, en remerciant M. Tarry de son intéressante com- 

 munication, croit devoir attirer l'attention sur les travaux antérieurs de M. Mou- 

 chot, travaux que l'étude de M. Tarry a pour effet de compléter. Le mémoire 

 de M. Mouchot a été publié, il y a plusieurs années, en une brochure ayant 

 pour titre : La Ré f 07 me cartésienne. 



M. P. -H. SCHOUTE, Prof, à l'Univ. de Groningue. 



Sur un complexe du 3'^ ordre. — Ce complexe est formé par les droites joignant 

 les couples de points isogonaux par rapport aux faces d'un tétraèdre proposé. 



Le cône du complexe est du troisième degré et, par suite, la courbe du 

 complexe est de la troisième classe. 



M. ScHOUTE démontre ces résultats géométriques et construit un diagramme 

 pour montrer la distribution symétrique des points et des plans principaux du 

 complexe, tous au nombre de douze, et qui sont, d'une part, les sommets du 

 tétraèdre et les centres des sphères qui le touchent, et, d'autre part, les plans 

 bissecteurs intérieurs et extérieurs relatifs aux sLx arêtes. 



M. Ch. BERDELLÉ, ancien Garde gén. des forêts, à Riez (Haute-Saône). 



Arithmétique des directions et rotations. — L Les arcs de cercle sont des 

 quantités généralement imaginaires, réelles seulement par exception. — IL Les 

 logarithmes d'unités dirigées, tels que les entendirent Argaud et Vallès, sont 

 calculés avec une autre unité positive réelle que les logarithmes des gran- 

 deurs. Il en est de même des logarithmes de direction, tels qu'aurait pu les 



entendre Euler quand il a prouvé que e - = i . — III. De l'étude sommaire 



de la courbe e^ , du cercle considéré comme courbe e'^ et d'autres courbes 

 semblables, il résulte que deux nombres conjugués doivent avoir des loga- 

 rithmes conjugués^ et réciproquement. — IV. De là il s'ensuit que dans le 

 système de logarithmes supérieurs de directions, homogènes avec les loga- 

 rithmes de longueurs, l'expression (a -\- ib) '"■ "*"*" n'est plus réductible à la 

 forme p -\- iq; ce qui fait disparaître l'objection faite contre le signe i^ comme 

 représentation de l'unité perpendiculaire à la fois sur 1 et sur i. 



Discussion — M. Laisant, tout en rendant hommage à l'esprit d'invention qui 

 anime M. Berdellé, dont il a été heureux de se faire l'interprète, croit néces- 

 saire d'ajouter en son nom personnel quelques réserves. 11 lui semble que les 

 notations et conventions proposées sont loin de constituer une amélioration 

 relativement à celles de Bellavitis, que la non-réduction de {a -{- bi) m + ni 

 à la forme p ~\- qi provient d'une sorte de paradoxe, et qu'enfin les tentatives 

 faites dans cet ordre d'idées pour représenter les faits géométriques de l'espace, 

 soit par M. Berdellé, soit par ses prédécesseurs, resteront forcément au-dessous 

 des grandes conceptions de Ilamilton, parce que celles-ci reposent sur la nature 

 même des choses, tandis que celles-là présentent toujours quelque chose d'ar- 

 tificiel. 



Néanmoins, la note de M. Berdellé, soulevant des idées nouvelles et pouvant 



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