174 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



que le nombre des tracés de figures que l'on peut décrire en n traits au plus. 

 Le mémoire contient plusieurs formules générales. En particulier, si l'on désigne 

 par 2" U'Zn et par 2" + * U2,i + i le nombre des circuits formés par les figures 



et si l'on pose 



U2n = î'n , U2,i - 1 = Un - Un - 1 , 



on a 



a" — S" 



Un = ^ 



oc — ^ 



a et j3 désignant les racines de l'équation 



a;2 =: ^x — i. 



M. SCHLEGEL, Prof., à GoUinpue. 



Sur un théwème de géométrie à quatre dimensions. — M. Schlegel conçoit 

 dans l'espace à quatre dimensions le solide analogue au prisme trilatéral et le 

 solide analogue au tétraèdre; le premier est le prisme à quatre dimensions et 

 le second le pentaédroïde. Il établit à Fégard de ces deux solides un théorème 

 analogue à celui qui établit la décomposition du prisme trilatéral en trois 

 tétraèdres d'égal volume. 



Sur les distances moyennes entre un point et des variétés de jwints, discrètes 

 ou continues. — M. Schlegel propose la solution de problèmes de géométrie à 

 trois dimensions par la considération de l'espace à quatre dimensions, et il con- 

 sidère d'abord des questions de géométrie à deux dimensions, dont il rattache 

 la solution à l'introduction de figures à trois dimensions. 



M. C.-A. LAISANT, ù Paris. 



Sur l'inversion d'un système de n points ; construction de deux points remarqua- 

 bles du triangle. — Étant donnés sur un plan n points qu'on transforme par 

 inversion par rapport à un pôle X, déterminer ce point X de telle sorte qu'il 

 soit le i)arycentre des points transformés. M. Laisant démontre que ce pro- 

 blème admet n — 1 solutions, données par les racines d'une équation du (u— 1)« 

 degré. Application au triangle; féquation, qui est alors du second degré, donne 

 deux points remarquables dont la construction est indiquée. Ces points, d'ail- 

 leurs jjicn connus, sont les foyers de la conique inscrite ayant pour centre le 

 barycentre du triangle . 



