150 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



dans les exercices qui terminent ciiacun des chapitres et dans les addition^ 

 placées à la fin du volume, un grand nombre d'énoncés de questions intéres- 

 santes et de toutes difficultés, sur des poinls importants de l'Arithmétique supé- 

 rieure et de la Géométrie de situation. 



Nous signalerons en particulier le problème des Réseaux, posé par Euler, 

 dont la solution a été notamment améliorée par M. G. Tarry, au Congrès de 

 Nancy; ceux des Ménages, des Quinconces, de la Partition des Polygones; le 

 problème géographique des Quatre couleurs, et enfin le problème concernant le 

 nombre des manières de plier une bande de timbres-poste, posé par M. Emile 

 Lemoine, et qui a résisté jusqu'à présent aux efforts des chercheurs les plus 

 patients et les plus habiles. 



Mais nous pensons devoir insister d'une manière spéciale sur les recherches 

 concernant les suites récurrentes et linéaires des divers ordres, dans leurs rap- 

 ports avec la théorie des fondions elliptiques et abéliennes. Dans plusieurs 

 mémoires publiés dans les Comptes rendus de l'Association, aux Congrès de Cler- 

 mont, de Nancy, de Paris et du Havre, dans les Actes de l'Académie royale des 

 Sciences de Turin et de Saint-Pétersbourg, dans la Nouvelle Correspondance 

 mathématique, dans le Journal de Sylvester à Baltimore, etc., nous avons mon- 

 tré l'analogie et, pour ainsi dire, l'identité des fonctions circulaires et hyper- 

 boliques avec les fonctions numériques du second ordre, qui proviennent des 

 échelles de récurrence données par une équation du second degré. (Voir les 

 chapitres XYII et XVIII de notre ouvrage.) A toute formule de la Trigonométrie 

 correspond une formule pour ces fonctions, et inversement. 



Nous avions espéré trouver dans cette étude, par la décomposition en facteurs 

 premiers des expressions (a" + b"), une démonstration du dernier théorème de 

 Fermât sur l'impossibilité de résoudre en nombres entiers l'équation indé- 

 terminée 



,/ + ,/ -f ;,P = 



dans laquelle il suffît de supposer que p désigne un nombre premier. Bien que 

 cette équation ait été depuis longtemps traitée magistralement par Kummer, 

 elle n'est pas complètement résolue, puisque beaucoup des exposants p échap- 

 pent à son admirable analyse. 



Mais si cette méthode de recherche ne nous a pas donné, jusqu'à présent, 

 la solution du célèbre problème, elle nous a permis d'obtenir de nombreux 

 théorèmes wilsoniens, c'est-à-dire les conditions nécessaires et suffisantes pour 

 qu'un nombre donné p, de vingt ou trente chiffres, soit premier, lorsque l'on 

 connaît la décomposition en facteurs premiers, de l'un des nombres p ± i qui 

 le comprennent. D'autre part, cette méthode conduit à la notion de fériu- 

 dicité des résidus pour les modules premiers oh composés. Il y a donc lieu de 

 rechercher les formules analogues d'addition et de multiplication pour les 

 fonctions numériques qui découlent d'échelles récurrentes du troisième et 

 du quatrième degré. Ces formules trouvent leur source dans la théorie des fonc- 

 tions elliptiques et l'on en rencontre déjà quelques-unes dans un beau mémoire 

 de M. Moutard (1). 



Ou retrouve encore ces suites récurrentes en généralisant la théorie des 

 substitutions linéaires, exposée par Serret dans son Cours d'Algèbre supérieure 

 (4^ édition, tome II, pages 3o(>-il2), sous une forme trop particulière. Si l'on 



(A) PONCELKT. — Appllcalions ci Analyse et de Géométrie, t. l", addition m, p. 5i2-S4S. 



