LUCAS. — QUESTIONS PROPOSÉES A LA DISCUSSION DES l""*^ ET 2^ SECTIONS 151 



considère n formis linéaires et homogènes de n variables x, y, z, ..., fournies 

 pur les substitutions linéaires 



yp + i= h-J-p + !^2!/;, + V2-^, + • • • • 



dans lesquelles les coefficients À, ,a, v, ..,, sont des constantes, les formes 

 ^p + 1' Vp — r ^p + 1' •• •' exprimées en fonction de x, y, z. ..., et les coeffi- 

 cients des variables x, y, z, ..., produisent des suites récurrentes linéaires 

 ayant pour échelle de récurrence l'équation : 



U = 



= 0, 



dans laquelle m désigne la variable. Les rapports des fonctions consécutives, ou 

 des coefficients correspondants de deux fonctions consécutives, ont pour limites, 

 dans certaines conditions de convergence, la racine de plus grand module de 

 l'équation U = 0. On généralise ainsi, d'une infinité de manières, la méthode 

 d'approximation de Bernoulli, pour le calcul des racines des équations. Cette 

 méthode est développée dans le premier volume de la Théorie des nombres, de 

 Legendre, mais pour un cas très particulier. 



Dans l'addition X, de notre ouvrage Sur l'extraction des racines par les 

 moyennes (p. rj06), nous avons indiqué un nouveau procédé d'extraction des 

 racines d'indice quelconque. 



Ce procédé se rapporte encore aux théories précédentes et aux substitutions 

 linéaires. Nous pensons, en développant ces nouvelles méthodes, en recher- 

 chant les formules d'addition et de multiplication, des fonctions numériques 

 qui proviennent des suites récurrentes du troisième et du quatrième degré, en 

 étudiant d'une manière générale les lois des résidus de ces fonctions pour des 

 modules premiers p, d'après leur aspect, leur caractère cubique ou biquadra- 

 tique pour le discriminant de l'équation U = 0, que l'on parviendra à de 

 nouvelles propriétés importantes pour les nombres premiers. Et peut-être que 

 la démonstration complète du dernier théorème de Fermât n'est-elle qu'une 

 conséquence du fameux théorème de Jacobi sur l'impossibilité de plus de deux 

 périodes pour les fonctions holomorphes d'une seule variable imaginaire. 



2° QUESTIONS DE CINÉMATIQUE SUR LES APPAREILS ARTICULÉS 



Les belles découvertes du général Peaucelher sur les parallélogi*ammes articulés 

 et sur les appareils à tiges (Unkaiies), pour décrire la ligne droite, les cercles 

 de grands rayons, les coniques et les autres courbes usuelles, n'ont pas encore 

 obtenu, dans l'enseignement et la pratique industrielle, la grande place qu'elles 

 méritent et qu'elles doivent occuper. C'est à l'Association française, au Congrès 

 de Lille, en 187i, que ces découvertes reçurent leur consécration définitive dans 

 leur pays d'origine, mais en revenant de Russie et d'Angleterre, après les rap- 

 ports et les mémoires des illustres professeurs Tchebyclief et Sylvester. Depuis 



