COLLIGNON. — CERTAINES SÉRIES DE TRIANGLES ET DE QUADRILATÈRES lo3 



Fermât. Extensions des propriétés des tableaux de sommes aux cubes de sommes, 

 formés avec des éléments initiaux quelconques. 



M. G. DE LONGCHAMPS, Prof, du Matli. au Lycée Saint-Louis, à Paris. 



La détermination du rayon de courbure dans les coniques in.scrites au triangle de 

 référence. — Une conique F étant rapportée à un triangle de référence ABC, 

 dans lequel elle est inscrite, est représentée (coordonnées barycen triques) par 

 la formule : 



^-P' + ^Y + ï-''^ — '^*Sp7 — 2xypr — 2^^qr = 0. 



Le rayon de courbure au point A', point où BC touche P, est donné par la 

 formule : 



'- = -'"" WTW'- 



Cette formule a été donnée par M. A. Demoulin, qui en a déduit diverses 

 propriétés, notamment celle qui intéresse l'ellipse de Steiner. 



Sur les sommets dans les courbes planes. — Un sommet S dans une courbe 

 plane F est caractérisé par ce fait que, en un pareil point, la circonférence 

 osculatrice est surosculatrice. Si l'on considère l'espace infiniment voisin de S, 

 les propriétés de cet espace sont troublées et diffèrent de celles que l'on con- 

 naît et qui sont relatives à un point quelconque. L'étude des propriétés des 

 infiniment petits, dans le voisinage d'un sommet, constitue la partie siillante 

 de cette note qui représente le premier chapitre d'une étude plus générale, 

 relative à la géométrie infinitésimale des points remarquables, dans les courbes 

 planes. 



M. Ed. COLLIGNON, Insp. gén. des P. cl Cli., à Paris. 



Sur certaines séries de triangles et de quadrilatères. — Si sur les côtés d'un 

 triangle donné ABC, on construit les carrés extérieurs, et qu'on prenne les 

 centres de ces carrés, on obtient un second triangle X'B'C ; cela posé, les 

 droites AA', BB', CC sont les hauteurs du triangle A'B'C, et on a les égalités 

 AA' = B'C, BB' = A'C, CC = A'B'. Les deux triangles ont le même ceu- 

 tre de gravité. — Les mêmes résultats s'étendent au cas où l'on prendrait les 

 carrés rabattus sur le triangle, et non extérieurs. 



Si l'on donne les nunn ros 0, 1, 2. . . ./i aux triangles successifs que l'on construit 

 en répétant la même opération sur le dernier triangle obtenu ; si l'on appelle S_, 

 la surface du triangle n^n, T,^ la somme ôba aires des côtés, a^, b^^, c,, les trois 

 -côtés, on aura 



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^^ — , etc . 



