72 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Nous pouvons nous proposer de chercher en combien de régions un 

 nombre «pielconque n de droites divisera la surface du plan, en supposant 

 que ces droites ne présentent aucune particularité, c'est-à-dire qu'il n'y 

 en ait jamais trois passant . par le même point, ni deux parallèles entre 

 elles. 



Soit r„ ce nombre de régions, correspondant à n droites. Si nous cou- 

 pons ces n droites par une (n4-l)% à une distance suffisamment grande 

 de leurs entre-croisements divers, il est clair que le nombre des régions, 

 du côté des entre-croisements, restera le même que tout à l'heure, ou ?-„. 

 Mais, du côté opposé, les n droites sépareront n + 1 régions ; de sorte 

 qu'en résumé nous aurons: 



r„+i — Vn + n 4- 1. 



De là, on tire évidemment, puisque Vo = '^: 



n (n + 1) 



r„=:l + (l+'2+3-+- -h>i) = \ 



2 



2. — 11 peut être intéressant de chercher de quelle manière ce nombre 

 total r„ de régions se divise en régions limitées et en régions illimit jes. 

 Rien n'est plus simple; car, si nous considérons toutes les droites à une 

 assez grande distance de leurs entre-croisements, elles forment là comme 

 une roue à 2n rayons, puisque chaque droite se prolonge dans les deux 

 sens et, par conséquent, elles donnent lieu à 2n régions illimitées. 



Donc, en appelant l,i le nombre des régions limitées, p,( celui des régions 

 illimitées, nous aurons : 



, (n-i)(n-2) _ 



Le raisonnement même auquel nous nous sommes livré montre que 

 ces nombres ne dépendent en aucune façon des positions respectives des 

 diverses droites, mais l)ien seulement du nombre de ces droites. 



3. — Si les droites présentent les singularités que nous avons écartées 

 tout d'abord, il en résulte la perte d'un certain nombre de régions. 



Par exemple, lorsque trois droites se coupent en un même point, il est 

 clair que cette circonstance produit la perte d'une région limitée. 



Quatre droites se coupant en un même point font perdre trois régions 

 limitées ; et il est aisé de reconnaître que l'intersection de n droites en un 

 même point fera perdre In régions limitées. 



S'il y a heu, on observera donc toutes ces singularités, et on ajoutera 

 entre elles les pertes qui en résultent, pour déduire la somme du nombre 

 des régions limitées. 



Le parallélisme de deux droites entraîne la perte d'une région ; s'il n'y a 

 que deux droites en tout, c'est une région illimitée ; mais, dans un sys- 

 tème de plusieurs droites, c'est une région limitée qui se perd. 



