74 MATHKMATIQUES. ASTRONOMIE. GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Si on fait intervenir un troisième plan, il coupe en deux chacune des 

 régions formées par les deux premiers plans, et nous avons ainsi huit 

 régions illimitées. 



11 s'agit de trouver en général le noml)re R„ do régions de l'espace, cor- 

 respondant à n plans. Si nous coupons ces a plans par un (n + 1)", à 

 une distance assez grande des polyèdres divers que ces plans peuvent former, 

 l'intersection du dernier plan par les n premiers formera un système de n 

 droites, qui présenteront r'„ régions. 



Du côté des entre-croisements limités, le nombre des régions n'aura pas 

 été altéré. Du côté opposé, il s'introduira au contraire r„ régions nou- 

 velles, et nous avons, par conséquent ; 



De là on tire : 



R„ — R^ + ?•, + j'i H- ... + ?•„ ,1, 



et. par un calcul très facile, en se servant de la valeur spéciale de r„. 

 obtenue au n" i ; 



7i(n' — i) 

 R„ = n + '1+— ^^^ 



Si on veut diviser ce nombre total de régions en régions limitées et en 

 régions illimitées, dont les nombres soient respectivement L„ et P„, il est 

 assez facile de reconnaître qu'on a les relations : 



ce qui conduit, par un calcul simple, à 



L.^( ''-i)(''-^)("-3) , P„ = „(„_1)+.2. 



On peut remarquer que, au-dessus de 6 droites, le nombre des régions 

 limitées d'un plan, qui était jusqu'alors inférieur au nombre des régions 

 illimitées, lui devient supérieur et que. au-dessus de 40 plans, le nombre 

 des régions limitées de l'espace, qui était jusqu'alors inférieur au nombre 

 des régions illimitées, lui devient supérieur. 



6. — Dans ce qui précède, nous avons implicitement écarté les sin- 

 gularités que peuvent présenter les plans dans leurs positions respectives. 



Il est aisé de reconnaître que l'intersection commune de quatre plans 

 en un même point fait perdre une région limitée, et qu'en général l'inter- 

 section commune de n plans en un même point fait perdre L„ régions 

 limitées. 



