LAISANT. — RKGIONS d'iTN PLAN ET DE l'eSPACE 73 



L'inlorsoctioii commune de 3 plans suivant uno même droite, si ces 



3 plans composent tout le système, entraine la perte de 2 rÔ4;ions; et en 



général, un système de /.• plans se coupant suivant une même droite 



'(/,:_!) (/,-_2)(/; + 3) . . 

 éprouve, par ce tait, une perte de — tj régions. 



Si un svstème de //, plans comprend k plans se coupant suivant une 



(/.•_,_l)(/;4-2) / . 2 /A . 

 même droite, il en résulte une perte de ^ V "3"/ ^*^' 



gions. 



Lorsque /.• plans sont parallèles à une même droite, cela entraîne une 



perte de -'~ ! régions, quel que soit le nombre des plans for- 



mant le système total. 



Lorsque k plans sont parallèles entre eux et qu'ils appartiennent à un 

 système total de n plans, la perte qui résulte de ce parallélisme est de 



-^— ;jj — -i — Tv— +î! — k) régions. 



La totalisation des régions perdues sera plus délicate, dans chaque cas 

 particulier, que pour les régions du plan, à cause de cette influence du 

 nombre total des plans du système sur le nombre des pertes, ce qui ne se 

 produisait pas pour les régions d'un plan. 



Nous avons donné les résultats qui précèdent sans démonstration, parce 

 qu'ils sont extrêmement faciles k obtenir avec un peu d'attention. 



7. _ Los considérations du n'^ 4 s'appliquent identiquement à l'espace, 

 Tout ce qui a été dit à propos des courbes dans ce numéro peut se répéter 

 ici pour les surfaces. 



8. _ Il pourrait être intéressant d'étudier la division du plan en 

 régions par d'autres figures que des lignes droites, et celle de l'espace 

 par d'autres figures que des plans. 



On pourrait aussi examiner les régions déterminées sur certaines 

 surfaces par certaines lignes tracées sur ces surfaces. 



Mais nous ne voulons pas compliquer et allonger cette étude sommaire, 

 et nous laissons au lecteur le soin de ces développements. Il reconnaîtra, 

 par exemple, que la considération des nombres P„ ci-dessus donne la 

 théorie complète des régions déterminées sur la surface d'une sphère par 

 des arcs de grands cercles. 



9. _ iSous donnons ci-dessous le tableau des nombres de régions du 

 plan et de l'ei-space ])Our les valeurs de n depuis jusqu'à 20. en dehors 

 de toute singularité des droites ou des plans. 



