84 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



plètcmcnt siniplifiôos par l'adoption de la lettre i, représentant rimaginaire du 

 second degré, à la place du raiiiun, et l'emploi du signe = à la place du signe 

 parfaitement superflu de l'équipollence. Si l'on se croyait obligé de créer des 

 signes nouveaux pour l'égalité de quantités nouvelles par leur nature, il résul- 

 terait, un jour, de cotte profusion des complications regrettables. Les quan- 

 tités étudiées dans la théorie des quaternions en nécessiteraient déjà un autre. 

 M. Darboux, président, est entièrement de l'avis de M. Laisant, sur l'avan- 

 tage qu'il y a, d'une manière générale, a rejeter les signes nouveaux dont l'em- 

 ploi n'est pas indispensable. Les signes habituels de l'algèbre ont suffi à Cau- 

 chy pour ses travaux dont un certain nombre ont une grande analogie avec le 

 calcul des équipollences. 11 termine en émettant l'espoir que le calcul des 

 équipoUences s'implantera sous peu en France. Au point de vue des applica- 

 tions géométriques et mécaniques, il peut rendre de précieux services ; lui- 

 même il a eu l'occasion d'en faire usage dans diverses études de cinématique. 



M. LAISAUT 



Bucleur es sciences. Député de la Loire-Inférieure. 



SUR LES DÉVELOPPEMENTS DE CERTAINS PRODUITS ALGÉBRIQUES 



— Séance du 1S avril 1881. — 



I. — L'idée de cette étude tire son origine d'un problème proposé, en 

 1880, par M. Catalan aux lecteurs de la Nouvelle Correspondance mathé- 

 matique (t. VI, p. 141) et qui était ainsi conçu : 



« Dans le développement du produit (1 — a) (1 — b) (1 — c) (1 — d) . . ., 

 » savoir: 1 — a — b-\-ah — c-\-ac-\-bc — abc — d-\- . . ., 

 » quel est le signe du N'' terme ? » 



La question n'était pas fort diflicile, et la solution en fut bientôt publiée 

 (t. VI, p. 276). Nous allons cependant la reprendre, sous une forme un 

 peu nouvelle et ([ui se prêtera mieux à la généralisation que nous voulons 

 essayer. 



Tout d'abord, lorsqu'on parle des développements d'un produit, indéfini 

 ou non, tel que (1 — a) (1 — 6) (1 — c) . . . ., il est essentiel de bien préci- 

 ser ce qu'on entend par là, pour qu'il n'y ait aucune confusion dans l'esprit. 



On suppose "qu'on effectue d'abord le produit (1 —a) (1— b) en posant 

 la multiplication : 



1 — rt 



1—6 

 et en suivant Tordre habituel de la multiplication, c'est-à-dire eh multl- 



