LAISANT. — DKVF.LOPPEMENTS DF, CERTAINS PRODUITS ALGÉBRIQUES So 



pliant successivement tous les termes du multiplicande, dans leur ordre, 

 par le premier terme du multiplicateur; ])uis, tous les termes du uuilti- 

 plicande par le second terme du mulliplicateur, et ainsi de suite, dans le 

 cas où le multiplicateur aurait un plus i;rand nombre de termes. 



Dans l'exemple qui nous occupe, cela donne évidemment i — a — 6 + 06. 

 On devra multiplier ce polynôme par 1 — c en suivant le même ordre, puis 

 le résultat obtenu par 1 — rf, et ainsi de suite. Le j)roduit de p facteurs 

 développé aura évidemment 2? termes. 



Nous remarquerons tout de suite que le premier terme est toujours 1, 

 quel que soit le nombre des facteurs binômes, et que le dernier terme, 

 celui (pii a pour rang 2p, est positil' ou négatif suivant que p est pair ou 

 impair. Si donc N était une puissance de 2. on saurait immédiatement quel 

 est le signe du terme de rang N, en considérant l'exposant de cette puis- 

 sance. 



Mais cela n'a pas lieu, en général, et N tombe entre deux puissances 

 de 2, savoir 2'' et 2^' + '. Désignons par a; le terme de rang i, et supposons 

 que nous ayons obtenu le dâveloppement des 2^ premiers termes : 



Pour avoir le développemeut qui résulte de l'introduction d'un nouveau 

 facteur, il faudra multiplier le polynôme qui précède par l'expression 

 1 — h, en suivant l'ordre indiqué plus haut, ce qui nous donnera, en sup- 

 primant les signes -|-, complètement inutiles : 



^1 '-'2 '^-.i «2P 



— hy.^ — liy.., — //a., — l^y-ip. 



Comme nous ne nous préoccupons actuellement que des signes, nous 

 pouvons supprimer dans la seconde ligne la lettre h ; nous pouvons aussi, 

 du même coup, voir dans les symboles a^, a^, . . . non pas les termes du 

 développement, mais simplement les signes de ces termes. Nous aurons 

 donc les signes : 



^1 ^2 ag • • • • ^2P 



'-'■1 '■'■1 ''■^:^ '^iPi 



correspondant respectivement aux rangs ci-dessus : 



I 2 3 2p 



