86 MATHEMATIQUES. ASTRONOMIE. GÉODÉSIE. MÉCANIQUE 



On voit ainsi que 



7.2^ + A- = y-k = ( 'I ) 'J-k, 



quel que soit le nonihre /.' inloiieiir ou. au plus, éi;al à 2^'. 



En d'autres termes, toutes les fois qu'on retranche d'un rang la plus 

 haute puissance de 2 qu'il renferme, on multiplie par ( — 1) le signe du 

 terme correspondant. 



D'après cela, si le nombre N a été écrit dans le système de numération 

 binaire, sous la forme 



1011100 0100010 0, 



on changera le signe du terme correspondant lorsqu'on effacera un cliiftre 

 1 à la gauche. Soit .s le nombre de ces chiffres; effaçons-les tous, à l'excep- 

 tion du dernier à droite. Nous aurons : 



• aN=(— 1)*•-^a^. 

 aYecN'=^00. . . .0 = 2=, en appelant z le nombre des zéros qui ter- 

 minent le nombre N à la droite. 



Mais, ainsi que nous l'avons remarqué, a2= == ( — 1). 



Par conséquent, 



Donc, N étant écrit dans le système binaire, soit .s* la somme de ses 

 chiffres, et le nombre des zéros qui le terminent à droite, suivant que 

 s-\-z sera impair ou pair, le terme de rang N sera positif ou négatif. 



2. — L'énoncé de la question que nous venons de résoudre peut être 

 présenté sous une forme assez différente en apparence, mais qui revient 

 identiquement au même. Remplaçons par la pensée les signes + et — . 

 respectivement, par les deux lettres A et B, et formons les deux permu- 

 tations 



AB BA, 



que nous désignerons par A^ et B^. Formons de même les deux permuta- 

 tions A^Bi et Bj Aj, que nous désignerons par A^ et B^, et continuons de la 

 sorte indéfiniment. Dans une permutation A„, B^.on peut supposer qu'on 

 a fait les remplacements nécessaires pour qu'il n'y reste plus que les lettres 

 A, B. Par exemple, 



A3B3 = A,B,B,A,=:AiB,BiAJÎiA,A,B, 

 = ABBABAABBAABABBA. 



