LAISANT. — DÉVELOPPEMENTS DE CERTAINS PRODUITS ALGÉBRIQUES 87 



Cola posé, quelle est, dans la suite ainsi obtenue, la lettre qui occupe un 

 rang- donné N? Ce problème de combinaison est identique avec celui que 

 nous venons de résoudre, car les opérations efîectuées sur les lettres 

 A et B sont précisément celles qui s'effectuaient tout à l'heure stu' les 

 signes -j- et — , lorsque nous dévelopjtionslles produits de facteurs l)inômes. 



3. — 11 est possible encore de ligurer les résultats obtenus d'une autre 

 manière en représentant le signe -f- par une couleur (le blanc par exemple), 

 et le signe — par une autre (noire) et en disposant la succession de ces 

 couleurs sur les cases d'un échiquier de 2p cases de côté, et qu'on devrait 

 lire ligne par ligne, de gauche à droite et de haut en bas, à la manière 

 ordinaire. 



Cela donne lieu à des dessins mosaïques assez curieux et symétriques, 

 ([ue nous indiquons ici pour les échiquiers de 2, 4 et 8 cases de côté 



(pi. m, fig. 1, 2, 3). 



Sur ces échiquiers, il y a plusieurs remarques intéressantes à faire. Mais, 

 pour établir rigoureusement les plus importantes d'entre elles, nous 

 demandons au lecteur d'admettre une propriété qui est loin d'être évi- 

 dente, mais qui sera démontrée, ultérieurement, en toute rigueur et d'une 

 laçon beaucoup plus générale. Elle consiste en ce que, dans le produit 

 (1 — rt)(l — h){i — c){i — d)..., on peut remplacer un certain nombre de 

 facteurs par leur produit développé, sans altérer le résultat, même quant à 

 l'ordre de ses termes. 



Par exemple, 



(1— a)(l — ft)(1 — c)(1— f/), ou(l— «)[(! — />)(1— r)](1 — f/), 



ou {\—a) [{\—b) (1_r)(1— f/;, | 



donnent toujours le même développement. Cela peut s'exprimer encore en 

 disant que l'opération (1 — a) (I — b) (1 — r) . . . . est associative au point 

 de vue qui nous préoccupe. 



Cela étant, il est clair que, pour avoir l'échiquier de 2?" cases de côté, 

 nous pourrons prendre les p premiers facteurs, développer leur produit, 

 qui donnera les signes : 



"^■1 '■'-i '^-ap , 



et puis inulti[)li('i' la suite de ces signes par ceux du développement 

 obteiui au moyen des p facteurs suivants. Mais ce dernier 'développe- 

 ment donnera encore la même suca'ssion de signes : 



7., 7-2 , .... . -J-lpy 



