88 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE. GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



en raison de l'identité de forme de tous les facteurs. Donc, pour obtenir 

 notre échiquier, il suffira d'effectuer le produit de ces deux suites, ce qui 

 donnera : 





a,a„ a„a,, 



a, a^ agp a^ 



a, a^ 7.2Pa.2 



y-'q a„î) a. 



a^a^pa^a^p 



'■q ^iV 



On constate ainsi, ce qu'il est facile de vérilier sur les ligures précé- 

 dentes, l'identité de chaque ligne avec la colonne de même rang. 



Il est clair aussi que l'échiquier jouit de la propriété d'une table de 

 Pythagore, c'est-à-dire que, pour avoir la couleur d'une case quelconque, 

 il suffira de regarder la première case de sa colonne et la première case 

 de sa ligne. Si elles sont de même couleur, la case considérée sera 

 blanche; si elles sont de couleurs contraires, elle sera noire. 



Toutes les cases d'une diagonale sont de la même couleur. Les cases de 

 la diagonale partant de la première case sont toujours blanches. 



Enfin, voici une propriété qui est de nature à faciliter la construction 

 de ces échiquiers. Soit E l'un quelconque d'entre eux, et E' celui qu'on 

 obtiendrait en faisant une épreuve photographique négative du premier, 

 c'est-à-dire en remplaçant toutes ses cases blanches par des noires, et 

 inversement. L'échiquier suivant sera formé par la figure ci-dessous 



En efïet, la première ligne du nouvel échiquier s'obtient en portant 

 bout à bout les deux premières lignes de E ; or la deuxième ligne de E est 

 toujours identique à la première de E'. L'identité des lignes avec les co- 

 lonnes nous montre alors que les échiquiers E' se disposeront comme nous 

 venons de l'indiquer et se compléteront, en vertu de la propriété que 

 possède chacun d'eux de jouer le rôle d'une table de multiplication. Cette 

 même propriété, appliquée à l'échiquier total, fait voir aussi que le qua- 

 trième échiquier ne sera autre que E, puisque chaque case correspondant 



